высшая математика
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Главная >> Лекции >> Теория вероятностей >>Вероятность события

Вероятность события. Классическое определение.

Вероятность события количественно характеризует возможность (шанс) осуществления этого события в ходе случайного эксперимента. В данном параграфе мы начинаем изучать возможности, предоставляемые теорией вероятности для сравнительного анализа ситуаций, возникающих при различных комбинациях равновероятных событий.

Представим, что у нас проводится эксперимент с пространством из n элементарных исходов, которые равновероятны. Элементарные исходы являются несовместными событиями (напомним, что несовместные события - это те, которые не могут произойти одновременно), поэтому вероятность каждого из них равна 1/n. Допустим, нас интересует событие А, которое наступает только при реализации благоприятных элементарных исходов, количество последних m (m< n). Тогда, согласно классическому определению, вероятность такого события:

Р(А)=m/n.

Для любого события А справедливо неравенство: 0 < P(A) <1.

Пример 1. Лотерея состоит из 1000 билетов, среди них 200 выигрышных. Наугад вынимается один билет из 1000. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный?

Решение: различных исходов в этом примере 1000 (n=1000). В интересующее нас событие А входят 200 исходов (m=200). Таким образом,

вероятность события


Пример 2. В коробке лежат 200 белых, 100 красных и 50 зеленых шаров. Наудачу вынимается один шар. Чему равны вероятности получить шар белого, красного или зеленого цвета?
Решение: Рассмотрим события:
А={вынули белый шар},
В={вынули красный шар},
С={вынули зеленый шар}.
n=350, тогда

вероятность вынуть белый шар
вероятность вынуть красный шар
вероятность вынуть зеленый шар

Пример 3. Бросается игральная кость. Чему равны вероятности следующих событий:
А={выпала грань с 6 очками},
В={выпала грань с четным числом очков},
С={выпала грань с числом очков, делящимся на 3}?
Решение: n = 6. Событию А благоприятствует один исход, событию В - три исхода, событию С - два исхода. Таким образом,

вероятность событи A
вероятность событи B
вероятность событи C

Иногда в задачах число элементарных исходов бывает так велико, что выписать их все не представляется возможным. Поэтому применяются формулы из комбинаторики.
Пример 4. Из колоды в 36 карт вытаскивают три. Какова вероятность того, что среди вынутых карт нет десяток?
Решение: В этом примере элементарным исходом является случайный набор из трех карт. Общее число элементарных исходов равно N=C363 , элементарные исходы считаем равновозможными. Благоприятных исходов (количество возможных наборов по три карты из той же колоды, но без десяток)
m=C323 . Таким образом, вероятность события A {Вынуто 3 карты из 36 и среди них нет десяток}:

вероятность событи A


Задачи для самопроверки

1. Бросаются одновременно две игральные кости. Найти вероятности следующих событий: А-сумма выпавших очков равна 8; В-произведение выпавших очков равно 8.

Общее число исходов: n=6х6=36, число благоприятных исходов события А [2,6] ,[3,5], [4,4], [5,3], [6,2] m=5, искомая вероятность р=m/n=5/36. Для события В благоприятные исходы: [2,4], [4,2], т.е. m=2 и искомая вероятность р=m/n=2/36=1/18.

2. В конверте среди 100 фотокарточек находится одна разыскиваемая. Из конверта наудачу извлечены 10 карточек. Найти вероятность того, что среди них окажется разыскиваемая.

Разложим все 100 фотокарточки в 10 конвертов поровну. Вероятность взять конверт с искомой фото р=1/10.

3. Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что номер набран правильно.

На первом месте у этого трехзначного числа может быть любая из 10 цифр от 0 до 9, на втором только 9 цифр, т.к. цифры не повторяются и на третьем 8 цифр, всего n=10x9x8=720, это общее число исходов, благоприятный исход один m=1, поэтому р=m/n=1/720.