высшая математика
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Главная >> Лекции >> Линейная алгебра >> Решение систем линейных уравнений

Решение систем линейных уравнений

Если система

a11 x1 + a12 x2+... + a1n xn = b1,

a21 x1 + a22 x2+... + a2n xn = b2,

...     ...     ...     ...

am1 x1 + am1 x2 +... + amn xn = bm.   (5.1)

оказалась совместной, т. е. матрицы системы A и матрица расширенной системы (со столбцом свободных членов) A|b имеют один и тот же ранг, то могут представиться две возможности - a) r = n;   б) r < n:

Перенесем лишние неизвестные x r+1, x r+2,..., xn, которые принято называть свободными, в правые части; наша система линейных уравнений примет вид:

a11 x1 + a12 x2 +... + a1r xr = b1 - a1,r+1 xr+1 -... - a1nxn,

a21 x1 + a22 x2 +... + a2r xr = b2 - a2,r+1 xr+1 -... - a2nxn,

...     ...     ...     ...     ...     ...     ...     ...     ...     ...

ar1 x1 + ar2 x2 +... + arr xr = br - ar,r+1 xr+1 -... - arnxn.

Ее можно решить относительно x1, x2,..., xr, так как определитель этой системы (r-го порядка) отличен от нуля. Придавая свободным неизвестным произвольные числовые значения, получим по формулам Крамера соответствующие числовые значения для x1, x2,..., xr. Таким образом, при r < n имеем бесчисленное множество решений.

Система (5.1) называется однородной, если все bi = 0, т. е. она имеет вид:

a 11 x1 + a12 x2 +... + a1n xn = 0,

a21 x1 + a22 x2 +... + a2n xn = 0,     (5.5)

 ...     ...     ...     ...     ...     ...

am1 x1 + am1 x2 +... + amn xn = 0.

В этом случае решение систем линейных уравнений существует всегда, как минимум нулевое. Из теоремы Кронекера-Капелли следует, что она всегда совместна, так как добавление столбца из нулей не может повысить ранг матрицы. Это, впрочем, видно и непосредственно - система (5.5) заведомо обладает нулевым, или тривиальным, решением x1 = x2 =... = xn = 0. Пусть матрица А системы (5.5) имеет ранг r.

Если r = n, то нулевое решение будет единственным решением системы (5.5); при r < n система обладает решениями, отличными от нулевого, и для их разыскания применяют тот же прием, как и в случае произвольной системы уравнений.

Всякий ненулевой вектор - столбец X = (x1, x2,..., xn)T называется собственным вектором линейного преобразования (квадратной матрицы A), если найдется такое число λ, что будет выполняться равенство

AX = λX.

Число λ называется собственным значением линейного преобразования (матрицы A), соответствующим вектору X. Матрица A имеет порядок n.

В математической экономике большую роль играют так называемые продуктивные матрицы. Доказано, что матрица A является продуктивной тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы A по модулю меньше единицы. Для нахождения собственных значений матрицы A перепишем равенство AX = λX в виде (A - λE)X = 0, где E- единичная матрица n-го порядка или в координатной форме:

(a11-λ)x1 + a12x2 +... + a1nxn =0,

a21x1 + (a22 -λ)x2 +... + a2nxn = 0,     (5.6)

...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ... ... 

an1x1 + an2x2 +... + (ann-λ)xn = 0.

Получили систему линейных однородных уравнений, которая имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель этой системы равен нулю, т.е.

.

Получили уравнение n-ой степени относительно неизвестной λ, которое называется характеристическим уравнением матрицы A, многочлен  называется характеристическим многочленом матрицы A, а его корни - характеристическими числами, или собственными значениями, матрицы A.

Для нахождения собственных векторов матрицы A в векторное уравнение (A - λE)X = 0 или в соответствующую систему однородных уравнений (5.6) нужно подставить найденные значения λ и решать обычным образом.

Пример 2.16. Исследовать систему уравнений и решить ее, если она совместна.

x1 +  x2 - 2x3 -   x4 +   x5 =1,

3x1 -   x2 +  x3 + 4x4 + 3x5 =4,

x1 + 5x2 - 9x3 - 8x4 +   x5 =0.

Решение. Будем находить ранги матриц A и A|b методом элементарных преобразований, приводя одновременно систему к ступенчатому виду:

решение систем

Очевидно, что r(A) = r(A|b) = 2. Исходная система равносильна следующей, приведенной к ступенчатому виду:

x1 + x2 -  2x3 -    x4 + x5 = 1,

- 4x2 + 7x3 + 7x4 = 1.

Поскольку определитель при неизвестных x1 и x2 отличен от нуля, то их можно принять в качестве главных и переписать систему в виде:

x1 + x2 =   2x3 +   x4 - x5 + 1,

- 4x2 = - 7x3 - 7x4 + 1,

откуда x2 = 7/4 x3 + 7/4 x4 -1/4, x1 = 1/4 x3 -3/4 x4 - x5 + 5/4 - общее решение системы, имеющей бесчисленное множество решений. Придавая свободным неизвестным x3, x4, x5 конкретные числовые значения, будем получать частные решения. Например, при x3 = x4 = x5 = 0 x1= 5/4, x2 = - 1/4. Вектор C(5/4, - 1/4, 0, 0, 0) является частным решением системы линейных уравнений.

Пример 2.17. Исследовать систему уравнений и найти общее решение систем линейных уравнений в зависимости от значения параметра а.

2x1 -   x2 +   x3 +     x4 = 1,

x1 + 2x2 -   x3 +   4x4 = 2,

x1 + 7x2 - 4x3 + 11x4 = a.

Решение. Данной системе соответствует матрица решение систем линейных уравнений. Имеем А ~матрица системы уравнений

 следовательно, исходная система равносильна такой:

x1 + 2x2 - x3 + 4x4 = 2,

5x2 - 3x3 + 7x4 = a-2,

0 = a-5.

Отсюда видно, что система совместна только при a=5. Общее решение в этом случае имеет вид:

x2 = 3/5 + 3/5x3 - 7/5x4,  x1 = 4/5 - 1/5x3 - 6/5x4.

Пример 2.18. Выяснить, будет ли линейно зависимой система векторов:

a1=(1, 1, 4, 2),

a2 = (1, -1, -2, 4),

a3 = (0, 2, 6, -2),

a4 =(-3, -1, 3, 4),

a5 =(-1, 0, - 4, -7),

Решение. Система векторов является линейно зависимой, если найдутся такие числа x1, x2, x3, x4, x5, из которых хотя бы одно отлично от нуля
(см. п. 1. разд. I), что выполняется векторное равенство:

x1 a1 + x2 a2 + x3 a3 + x4 a4 + x5 a5 = 0.

В координатной записи оно равносильно системе уравнений:

x1 +  x2 -  3x4 -   x5 = 0,

 x1 -   x2 + 2x3 -   x4         = 0,

4x1 - 2x2 + 6x3 +3x4 - 4x5 = 0,

2x1 + 4x2 - 2x3 + 4x4 - 7x5 = 0.

Итак, получили систему линейных однородных уравнений. Решаем ее методом исключения неизвестных:

 Система приведена к ступенчатому виду, ранг матрицы равен 3, значит, однородная система уравнений имеет решения, отличные от нулевого (r < n). Определитель при неизвестных x1, x2, x4 отличен от нуля, поэтому их можно выбрать в качестве главных и переписать систему в виде:

x1 + x2 - 3x4 = x5,

 -2x2 + 2x4 = -2x3 - x5,

- 3x4 = - x5.

Имеем: x4 = 1/3 x5, x2 = 5/6x5+x3, x1 = 7/6 x5 -x3.

Система имеет бесчисленное множество решений; если свободные неизвестные x3 и x5 не равны нулю одновременно, то и главные неизвестные отличны от нуля. Следовательно, векторное уравнение

x1 a1 + x2 a2 + x3 a3 + x4 a4 + x5 a5 = 0

имеет коэффициенты, не равные нулю одновременно; пусть например, x5 = 6, x3 = 1. Тогда x4=2, x2 = 6, x1=6 и мы получим соотношение

6a1 + 6a2 + a3 + 2a4 + 6a5 = 0,

т.е. данная система векторов линейно зависима.

Пример 2.19. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

.

Решение. Вычислим определитель матрицы A

.

Итак, = (λ - 2)2 × (λ+2)2. Корни характеристического уравнения =0 - это числа λ1 = 2 и λ2 = -2. Другими словами, мы нашли собственные значения матрицы A. Для нахождения собственных векторов матрицы A подставим найденные значения λ в систему (5.6): при λ = 2 имеем систему линейных однородных уравнений

x1 - x2= 0, x1 - x2= 0,

x1 - x2= 0, 3x2 -7x3 - 3x4 = 0,

3x1 -7x3 - 3x4 = 0, 5x3 +  x4 = 0.

4x1 - x2 + 3x3 -  x4 = 0,

Следовательно, собственному значению λ = 2 отвечают собственные векторы вида a (8, 8, -3, 15), где a - любое отличное от нуля действительное число. При λ = -2 имеем:

и поэтому координаты собственных векторов должны удовлетворять системе уравнений

                                                                       x1+3x2            = 0,

                                                                              x2             = 0,

                                                                                  x3+x4= 0.

Поэтому собственному значению λ = -2 отвечают собственные векторы вида β (0, 0,-1, 1), где β - любое отличное от нуля действительное число.