высшая математика
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Главная >> Лекции >> Линейная алгебра >>Ранг матрицы

Ранг матрицы

Определение ранга матрицы

Рассмотрим прямоугольную матрицу. Если в ней выделить произвольно k строк и k столбцов, то элементы, стоящие на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k-го порядка. Определитель этой матрицы называется k-м минором матрицы А. Очевидно, что А обладает минорами любого порядка от 1 до наименьшего из чисел m и n. Среди всех отличных от нуля миноров матрицы А найдется по крайней мере один, порядок которого будет наибольшим. Наибольший из порядков миноров, отличных от нуля, называется ранг матрицы. Если ранг матрицы А равен r, то это означает, что в А имеется отличный от нуля r-й минор, но всякий минор, больший чем r, равен нулю. Ранг матрицы А обозначается через r(A). Очевидно, что выполняется соотношение

r(A)

Вычисление ранга с помощью миноров

Ранг находится либо методом окаймления миноров, либо методом элементарных преобразований. При вычислении r(A) первым способом следует переходить от миноров низших порядков к высшим минорам. Если уже найден D k-го порядка для А, отличный от нуля, то требуются вычисления лишь миноры (k+1)-го порядка, окаймляющие D, т.е. содержащие его в качестве минора. Если все они равны нулю, то ранг A равен k.

Пример 1. Найти методом окаймления миноров ранг

матрица 3 на 4.

 

Решение. Начинаем с миноров 1-го порядка, т.е. с элементов А. Выберем, например, минор (элемент) М1 = 1, расположенный в первой строке и первом столбце. Окаймляя при помощи второй строки и третьего столбца, получаем M2 = минор, отличный от нуля. Переходим теперь к минорам 3-го порядка, окаймляющим М2. Их всего два (можно добавить второй столбец или четвертый). Вычисляем их: минор третьего порядка = 0. Таким образом, все окаймляющие миноры третьего порядка оказались равными нулю и ранr А равен 2.

Вычисление ранга с помощью элементарных преобразований

Элементарными называются следующие преобразования:

  1. перестановка двух любых строк (или столбцов),
  2. умножение строки (или столбца) на отличное от нуля число,
  3. прибавление к одной строке (или столбцу) другой строки (или столбца), умноженной на некоторое число.

Две матрицы называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью конечного множества элементарных преобразований.

Эквивалентные не являются, вообще говоря, равными, но их ранги равны. Если А и В эквивалентны, то это записывается так: A ≅ B.

Канонической матрицей называется такая, у которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц (число которых может равняться нулю), а все остальные элементы равны нулю, например,

.

 

При помощи элементарных преобразований строк и столбцов любую матрицу можно привести к канонической. Ранг канонической матрицы равен числу единиц на ее главной диагонали.

Пример 2 Найти ранг A

А=

ранг

и привести ее к каноническому виду.

Решение. Из второй строки вычтем первую и переставим эти строки:

.

 

Теперь из второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 2 и 5:

;

 

из третьей строки вычтем первую; получим

В =

матрица эквивалентная A

 

 

которая эквивалентна А, так как получена из нее с помощью конечного множества элементарных преобразований. Очевидно, что ранг r(В) = 2, а следовательно, и r(A)=2. В легко привести к канонической. Вычитая первый столбец, умноженный на подходящие числа, из всех последующих, обратим в нуль все элементы первой строки, кроме первого, причем элементы остальных строк не изменяются. Затем, вычитая второй столбец, умноженный на подходящие числа, из всех последующих, обратим в нуль все элементы второй строки, кроме второго, и получим каноническую матрицу:

каноническая матрица.