высшая математика
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Главная >> Лекции >>Математический анализ >>Производная

Производная, правила и формулы дифференцирования

Пусть задана функция f(x) на интервале (a,b). Зафиксируем точку x внутри (a,b) и придадим x приращение ∆x, MP секущая, приращение ∆y = f(x+∆x)-f(x).  Рассмотрим отношение

производная функции

это тангенс угла наклона секущей  это тангенс угла наклона секущей MP, он зависит от  ∆x.

Определение. Производная - это предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

определение производной

Существует несколько способов обозначения производной, самые важные это обозначения производной.

Пример нахождения производной , используя определение:

Геометрический смысл

геометрический смысл производной

По определению призводная определение производной, устремим M к P, это эквивалентно стремлению дельта x стремится к 0.

Предельное положение секущей MP это касательная к кривой в точке M , ее угловой коэффициент равен угловой коэффициент касательной

производная

Следовательно, производная в точке х равна тангенсу угла наклона касательной в ней.

Уравнение касательной в точка х0 имеет вид уравнение касательной, т.к.

угловой коэффициент, то уравнение касательной примет вид уравнение касательной. Найдем уравнение нормали, перпендикулярной данной касательной и проходящей через точка х0. Из условия перпендикулярности прямых условие перпендикулярности прямых угловой коэффициент нормали равен угловой коэффициент нормали, а уравнение нормали в точка х0 примет вид

уравнение нормали

Механический смысл

Пусть прямолинейное движение материальной точки задано законом S = S(t). Путь, который проследует точка за время ∆ равен ∆S = S(t+∆t)-S( t). Средняя скорость естьсредняя скорость, мгновенная скорость это производная пути по времени мгновенная скорость

Пример.

Пусть дан закон движения материальной точки закон движения точки, найти скорость точки через t = 3 сек.

Найдем значение производной пути скорость точки

Дифференциал функции

Пусть задана y = f(x) на интервале (a,b), y = f(x) называется дифференцируемой в точке x, если ∆y можно представить с помощью следующего выражения:

∆y = A∆x + α(∆)∆x

где А= const при фиксированном  х и функция от дельта х при дельта x

Теорема. Для дифференцируемости в х необходимо и достаточно, чтобы функция имела в ней конечную производную.

Дифференциалом y = f(x) называется выражение вида dy=Aдельта x- это главная линейная часть приращения ∆y , на основании предыдущей теоремыдифференциал функции, обозначив дифференциал независимой переменной через dx=∆x, получим  выражение для дифференциала:

дифференциал функции

Геометрический смысл дифференциала виден из следующего рисунка

дифференциал функции

приращение ординаты касательной, т.е. дифференциал f(x) равен отрезку PQ это приращение ординаты касательной, а приращение ∆y это отрезок приращение функции

Формулы дифференцирования

производная константы производная x
производная суммы и разности вынесение константы за знак производной
производная произведения функций производная дроби

Таблица производных

Производная сложной функции

Если y = f(x) и u = u(x), то есть y=f[u(x)] сложная функция, где f(u) и u(x) имеют производные, то

производная сложной функции

это правило дифференцирования сложной функции.

Пример.

пример

Производная обратной функции

Пусть задана y = f(х), тогда определена обратная функция х = ϕ(y). Для y = 5х обратная обратная функция, для кубическая парабола обратная обратная к кубической параболе.  Пусть y = f(х) возрастает или убывает на (a,b) и непрерывна, тогда существует обратная х = ϕ(y) и ее производная

производная обратной функции.

Пример 1. Найти производную обратной тригонометрической функции y = arcsinx.  Обратная функция  х = siny, ее производная дифференцируем арксинус, по формуле для обратной функции производная арксинуса.

Пример 2. Найдем производную производная функции для y = arctgх, обратная функция  х = tgy производная арктангенса.

Логарифмическое дифференцирование

Пусть имеется функция показательная функция найдем ее производную. Сначала прологарифмируем  данное выражение, получим  lny = v(х)lnu(х). Теперь продифференцируем производная логарифма функциивыражение производной

выражение для игрик штрих

Пример. Найти производную функции

Логарифмируем lny = хlnх, теперь дифференцируем

;

Применение  дифференциалов в приближенных вычислениях

Вычислить корень из числа

Используем приближенное равенство приближенное равенство