высшая математика
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Главная >> Лекции по высшей математике >> Линейная алгебра >> А-1    Матричный калькулятор

Обратная матрица

Определение А-1

Для каждого числа a существует обратное число a-1 такое, что произведение a*a-1 = 1. Для квадратных матриц тоже вводится аналогичное понятие. Рассмотрим квадратную матрицу

квадратная А.

Обозначим определитель (детерминант, det(), |A|) через Δ = det . Квадратная матрица В есть обратная квадратной того же порядка, если их произведение A*В = В*А = Е, где Е - единичная матрица,

единичная, главная диагональ - единицы, остальные элементы нули.

Если Δ ≠ 0 , то матрица называется невырожденной или неособенной; иначе, если равен нулю - вырожденной или особенной.

Теорема. Чтобы имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы ее детерминант был отличен от нуля.

Для не квадратных и вырожденных обратных матриц не существует.

Обратная матрица для , обозначается через -1 , так что В = -1 вычисляется по формуле

обратная матрица (1)

где - алгебраические дополнения элементов aij , Δ = ||. Для не квадратной Δ, обратная матрица -1 не существуют.

Вычисление -1 по формуле (1) если имеет высокий порядок трудоёмко, поэтому удобнее найти обратную с помощью метода элементарных преобразований (ЭП). Любую неособенную путём ЭП только столбцов (или только строк) можно привести к единичной Е.

Если совершённые над ЭП в том же порядке применить к единичной Е, то результатом будет обратная матрица -1. Проще совершать ЭП над и Е одновременно, записывая обе рядом через черту | E. Если нужно вычислить А-1 , то следует использовать только строки или только столбцы.

Свойства обратной матрицы

Вычисления обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений

Алгоритм вычисления обратной А-1 :

  1. Надо вычислить определитель |A|, если он не равен 0, то обратная А-1 существует.
  2. Определяем *, матрица алгебраических дополнений ij соответствующих элементов aij исходной матрицы . Сначала рассчитываем миноры Mij - это определители, которые получаются вычёркиванием строки i и столбца j , ij=(-1)i+j Mij.
  3. *= {} транспонируем - строки заменяем столбцами, *T - это союзная матрица (присоединённая, взаимная).
  4. *T делим на |A|, обратная -1= *T/Δ.

Пример_1. Дана 2×2 второго порядка, ? Найти обратную 2×2.

  1. Найдём ||, |A| он не равен 0, значит обратную -1 существует.
  2. Вычислим  алгебраические дополнения каждого элемента матрицы  : для первой строкиA11, A12, для второй строки A21, A22.
  3. Составим присоединённая, транспонируем её (строки заменяем столбцами) транспонированная союзная.
  4. *T делим на Δ = -2. деление A*T на |A|. Проверка исходную × на полученную

умножение прямой и найденнойполучена единичная E. Получена E, следовательно, обратная матрица

-1 вычислена верно.

Пример 2. Дана 3×3 третьего порядка, -1?. дана 3х3 найти обратную

Решение. det()?
det(А) он не равен 0, следовательно, обратная матрица -1 существует, ее можно вычислить по формуле: формула А, где (i,j=1,2,3) - алгебраические дополнения элементов аij исходной . Вычислим их:

A11 A12

A13 И так далее.

А21

А22алгебраич. дополнение А23

алгебраич. дополнение А31 алгебраич. дополнение А32

алгебраич. дополнение А33, *= из алгебраических дополнений, присоединённая *T=присоединённая Искомая обратная матрица -1= *T/Δ,

откуда выражение найденной.

Вычисления обратной матрицы с помощью элементарных преобразований (метод Гаусса-Жордана)

Пример 3. Методом элементарных преобразований вычислить -1 если = А примера 2.

Решение. Приписываем к исходной справа единичную того же порядка: А с приписанной справа единичной. С помощью элементарных преобразований столбцов приведём левую “половину” к единичной, совершая одновременно точно такие преобразования над правой "половиной".
Поменяем местами 1 со 2 столбцы: в А переставили 1 и 2 столбцы~в А 1 и 2 столбцы переставлены. К третьему прибавим первый, ко второму - первый, × на -2: складываем 1 и 3 столбцы. Из первого вычтем удвоенный второй, из третьего - × на 6 второй; из первого столбца вычтем удвоенный второй. Прибавим третий к первому и второму: Прибавим третий столбец к первому и второму. Умножим последний на минус один: × последний столбец на -1. Справа от вертикальной черты квадратная таблица размером 3х3
получена (ОМ) к А.

Применение обратной матрицы

Решение систем линейных уравнений

Пример 4 Решить систему.

система уравнений

Обозначим А системы, вектор неизвестных, вектор свободных членов.

В матричной форме она примет вид: AX = B. Умножим это уравнение на -1 слева,

X = -1*B.

обрат

||= detA= 2 + 2 -1 -1 + 4 -1 = 5. Так как он не равен 0, то - невырожденная, значит обратная -1 существует. Вычислим элементы *:

алгебраическое дополнения A11 2 -1 =1;

алгебраическое дополнение A12-(4-1)=-3 ;

A132 -1 =1;

A21-(-2-1)=3;

A222 -1 =1;

A23-(1 +1 ) = -2;

A31-1 -1 = -2;

A32- (1 - 2) =1;

A331 + 2 = 3.

Составим взаимная, транспонируем её (строки заменяем столбцами) транспонированная присоединённая, делим ее на |A|= 5.

обратная. Корни системы определим по формуле X = -1B =

= найденная искомаяxвектор свободных членов = умножение на вектор B=корни исходной системы, исходная система решена x1= 4, x2= 2, x3=1.

Обращение матрицы в Excel

обращение матрицы в excel

Эта операция выполняется с помощью функции МОБР(). Сначала введем заполним ячейки A2:C4 исходные данные. Затем выделим ячейки под результат A7:C9 и нажмем комбинацию клавиш <shift>+<Ctrl>+<Enter>. В Excel всегда при матричных операций выделяется место под результат и вводится указанная комбинация клавиш.

Часто задаваемые вопросы

Статьи по теме: