высшая математика
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Главная >> Лекции >> Линейная алгебра >> Матричный метод

Матричный метод

Если матрица А системы линейных уравнений невырожденная, т.е. det A ≠ 0, то матрица А имеет обратную, и решение системы совпадает с вектором C = A-1B. Иначе говоря, данная система имеет единственное решение. Отыскание решения системы по формуле X=C, C=A-1B называют матричным способом решения системы, или решением по методу обратной матрицы.

Пример 2.15. Решить матричным способом систему уравнений

 

x1 - x2 +  x3 = 6,

2x1 + x2 + x3 = 3,

x1 + x2 +2x3 = 5.

Решение. Обозначим

Тогда данная система уравнений запишется матричным уравнением AX=B. Поскольку , то матрица A невырождена и поэтому имеет обратную:

.

Для получения решения X мы должны умножить вектор-столбец B слева на матрицу A-1: X = A-1B. В данном случае

и, следовательно,

.

Выполняя действия над матрицами, получим:

                            x1 = 1/5(1×6+3×3-2×5) = 1/5 (6+9-10) = 1,

                            x2 = 1/5 (-3×6 +1×3 - 1×5) = 1/5 (- 18 + 3 + 5) = -2,

                            x3 = 1/5 (1×6 - 2×3 + 3×5) = 1/5 (6 -6 + 15) = 3.

Итак, X = (1, -2, 3)T.