высшая математика
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Главная >> Лекции по высшей математике >> Аналитическая геометрия >> Уравнение прямой

Уравнение прямой на плоскости

Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0,

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно.

Его называют общим уравнением. В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

•  C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – проходит через начало координат

•  А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0}- параллельна оси Ох

•  В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} – параллельна оси Оу

•  В = С = 0, А ≠0 – совпадает с осью Оу

•  А = С = 0, В ≠0 – совпадает с осью Ох

Уравнение прямой на плоскости может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.

Уравнение прямой по точке и вектору нормали

Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой Ах + Ву + С = 0.

Пример 1. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору n(3, -1).

Решение. Составим при А = 3 и В = -1 уравнение: 3х – у + С = 0. Для нахождения коэффициента С подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем: 3 – 2 + C = 0, следовательно, С = -1. Окончательно получим: 3х – у – 1 = 0.

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть в пространстве заданы две точки M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) и M2 ( x 2, y 2 , z 2 ), тогда уравнение прямой, проходящей через две точки:

уравнение прямой проходящей через две точки

Если какой-либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.На плоскости, записанное выше, упрощается:

уравнение прямой через 2 точки

если х 1 ≠ х2 и х = х 1 , если х 1 = х2 .

Дробь угловой коэффициент= k называется угловым коэффициентом .

Пример 2. Найти уравнение прямой, проходящей через две точки А(1, 2) и В(3, 4).

Решение. Применяя записанную выше формулу, получаем:

Уравнение прямой на плоскости

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту

Если общее уравнение прямой на плоскости Ах + Ву + С = 0 привести к виду:

уравнение с угловым коэффициентом

и обозначить уравнение с угловым коэффициентом, то получим уравнением прямой с угловым коэффициентом k .

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору

По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение через вектор нормали можно ввести задание прямой через точку и направляющий вектор.

Определение. Каждый ненулевой вектор направляющий вектор( α1 , α2 ), компоненты которого удовлетворяют условию А α1 + В α2 = 0 называется направляющим вектором прямой

Ах + Ву + С = 0.

Пример 3. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) с направляющим вектором направляющий вектор a(1, -1).

Решение.Будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением, коэффициенты должны удовлетворять условиям:

1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = В.

Тогда получим вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C / A = 0. при х = 1, у = 2 получаем С/ A = -3, т.е. искомое:

х + у - 3 = 0

Уравнение прямой в отрезках

Если в общем уравнении Ах + Ву + С = 0 С≠0, то, разделив на –С, получим: уравнение в отрезках или

соотношение в отрезках, где

введем обозначения

Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения с осью Оу.

Пример 4. Задано общее уравнение х – у + 1 = 0. Найти его в виде уравнение прямой в отрезках.

С = 1, получено уравнение в отрезках, а = -1, b = 1.

Нормальное уравнение прямой

Если уравнение прямой на плоскости Ах + Ву + С = 0 умножить на число нормирующий множитель, которое называется нормирующем множителем , то получим

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

нормальное уравнение. Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы μ * С < 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Пример 5. Дано 12х – 5у – 65 = 0. Требуется написать различные типы уравнений этой линии.

уравнение прямой в отрезках: линия в отрезках

уравнение прямой с угловым коэффициентом: (делим на 5)

уравнение с угловым коэффициентом

нормальное уравнение прямой:

нормальное уравнениенормальное уравнение; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Следует отметить, что не каждую прямую можно представить в отрезках, например, параллельные осям или проходящие через начало координат.

Пример 6. Прямая отсекает на координатных осях равные положительные отрезки. Найти её, если площадь треугольника, образованного этими отрезками равна 8 см 2 .

Решение.Искомое уравнение имеет вид: прямая в отрезках, ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4 < 0 не подходит по условию задачи. Итого: линия в отрезках или х + у – 4 = 0.

Пример 7. Какая прямая проходит через точку А(-2, -3) и начало координат.

Решение. Имеем: через две точки, где х 1 = у 1 = 0; x2 = -2; y2 = -3.

прямая уравнение искомой прямой

Угол между прямыми на плоскости

Определение. Если заданы две прямые y = k1 x + b1 , y = k 2x + b2 , то острый угол между ними будет определяться как

угол между двумя линиями.

Две прямые параллельны, если k1 = k2 . Две прямые перпендикулярны, если k1 = -1/ k2 .

Теорема. Ах + Ву + С = 0 и А 1 х + В1 у + С1 = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А1 = λА, В1 = λВ. Если еще и С1 = λС, то они совпадают. Координаты точки пересечения находятся как решение системы этих уравнений.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой

Определение. Прямая, проходящая через точку М11 , у1 ) и перпендикулярная к у = kx + b имеет вид:

уравнение перпендикулярных прямых

Расстояние от точки до прямой

Теорема. Если задана точка М(х0 , у0 ), то расстояние до Ах + Ву + С =0 определяется как

расстояние от точки до линии первого порядка.

Доказательство. Пусть точка М 11, у 1) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и М1 :

расстояние между двумя точками (1)

Координаты x1 и у1 могут быть найдены как решение системы уравнений:

система уравнений

Второе уравнение системы – это линия, проходящей через заданную точку М 0 перпендикулярно заданной прямой. Преобразовать первое к виду:

A(x – x 0 ) + B(y – y0 ) + Ax0 + By0 + C = 0,

то, решая, получим:

решение системы

Подставляя эти выражения в (1), находим:

окончательная формула

Теорема доказана.

Пример 8. Определить угол между: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = вычисление тангенса угла; φ= π /4.

Пример 9. Показать, что 3х – 5у + 7 = 0 и 10х + 6у – 3 = 0 перпендикулярны.

Решение. Находим: k 1 = 3/5, k2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, следовательно, они перпендикулярны.

Пример 10. Даны вершины треугольника А(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Найти высоту, проведенной из вершины С.

Решение. Находим сторону АВ: уравнение AB; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0; высота треугольника

Искомая высота имеет вид: Ax + By + C = 0 или y = kx + b . k = коэффициент наклона. Тогда y = уравнение высоты. Т.к. высота проходит через точку С, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению: угловой коэффициентоткуда b = 17. Итого: .Уравнение прямой

Ответ: 3 x + 2 y – 34 = 0.