высшая математика
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Главная >> Лекции >> Линейная алгебра >>Формулы Крамера         Матричный калькулятор

Метод Крамера

Система линейных уравнений имеет вид:

a11 x1 + a12 x2     +... + a1n xn = b1,

a21 x1 + a22 x2    +... + a2n xn = b2,                         

...     ...     ...     ...

am1 x1 + am1 x2 +... + amn xn = bm.(5.1)

Здесь аi j и bi (i = 1,...,m; j = 1,...,n) - заданные, а xj - неизвестные действительные числа.

Метод Крамера состоит в том, что мы последовательно находим главный определитель системы (5.1), т.е. определитель матрицы А

D = det (ai j)

и n вспомогательных определителей D i (i=1,...,n), которые получаются из определителя D заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

Формулы Крамера имеют вид:

D × x i = D i ( i  =1,...,n ).                                                (5.2)

Из (5.2) следует правило Крамера, которое дает исчерпывающий ответ на вопрос о совместности системы (5.1): если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

x i = D i / D.

Если главный определитель системы D и все вспомогательные определители D i = 0 (i=1,...,n), то система имеет бесчисленное множество решений. Если главный определитель системы D = 0, а хотя бы один вспомогательный определитель отличен от нуля, то система несовместна.

Пример 1.. Решить методом Крамера систему уравнений:

x1 +   x2 +  x3 +      x4 = 5,

x1 + 2x2 -   x3 +    4x4 = -2,

2x1 -  3x2 -   x3 -     5x4 = -2,

3x1 +   x2 +2x3 + 11 x4 = 0.

Решение. Главный определитель этой системы

значит, система имеет единственное решение. Вычислим вспомогательные определители D i ( i = 1,...,4), получающиеся из определителя D путем замены в нем столбца, состоящего из коэффициентов при xi, столбцом из свободных членов:

   

                   

Отсюда x1 = D 1/D = 1, x2 = D 2/D = 2, x3 = D 3/D = 3, x4 = D 4/D = -1, решение системы - вектор С=(1, 2, 3, -1)T.