высшая математика
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Главная >> Лекции по высшей математике >> Математический анализ >> Методы интегрирования

Основные методы интегрирования

Определение интеграла, определенного и неопределенного, таблица интегралов, формула Ньютона-Лейбница, интегрирование по частям, примеры вычисления интегралов.

Неопределенный интеграл

Пусть u = f(x) и v = g(x) - функции, имеющие непрерывные производные. Тогда, по правилу дифференцирования произведения,

d(uv))= udv + vdu или udv = d(uv) - vdu.

Для выражения d(uv) первообразной, очевидно, будет uv, поэтому имеет место формула:

∫ udv = uv - ∫ vdu  (8.4.)

Эта формула выражает правило интегрирования по частям. Оно приводит интегрирование выражения udv=uv'dx к интегрированию выражения vdu=vu'dx.

Пусть, например, требуется найти ∫xcosx dx. Положим u = x, dv = cosxdx, так что du=dx, v=sinx. Тогда

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

Правило интегрирования по частям имеет более ограниченную область применения, чем замена переменной. Но есть целые классы интегралов, например, ∫xklnmxdx, ∫xksinbxdx, ∫ xkcosbxdx, ∫xkeax и другие, которые вычисляются именно с помощью интегрирования по частям.

Определенный интеграл

Методы интегрирования, понятие определенного интеграла вводится следующим образом. Пусть на отрезке [a,b] определена функция f(x). Разобьем отрезок [ a,b] на n частей точками a= x0 < x1 <...< xn = b. Из каждого интервала (xi-1, xi) возьмем произвольную точку ξi и составим сумму методы интегрированияf(ξi)Δxi где Δxi=xi - xi-1. Сумма вида интегральная суммаf(ξi)Δ xi называется интегральной суммой, а ее предел при λ = maxΔxi→ 0, если он существует и конечен, называется определенным интегралом функции f(x) от a до b и обозначается:
интегральная сумма предел сумма f(ξi)Δxi (8.5).

Функция f(x) в этом случае называется интегрируемой на отрезке [a,b], числа a и b носят название нижнего и верхнего предела интеграла.

Методы интегрирования имеют следующие свойства:

  1. свойство 1 определенного интеграласвойство 2 определенного интеграласвойство 3 определенного интеграла
  2. свойство 4 определенного интеграла
  3. свойство 5 определенного интеграла - свойство 6 определенного интеграла
  4. свойство 7 определенного интеграласвойство интеграла, (k = const, k∈R);
  5. интеграл суммы
  6. свойство 8 определенного интеграла
  7. методы интегрирования f(ξ)(b-a) (ξ∈[a,b]).

Последнее свойство называется теоремой о среднем значении.

Пусть f(x) непрерывна на [a,b]. Тогда на этом отрезке существует неопределенный интеграл

∫f(x)dx = F(x) + C

и имеет место формула Ньютона-Лейбница, связывающая определенный интеграл с неопределенным:

F(b) - F(a).   (8.6)

Геометрическая интерпретация:  представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой y=f(x), прямыми x = a и x = b и отрезком оси Ox.

криволинейная трапеция

Несобственные интегралы

Интегралы с бесконечными пределами и интегралы от разрывных (неограниченных) функций называются несобственными. Несобственные интегралы I рода - это интегралы на бесконечном промежутке, определяемые следующим образом:

несобственный integral 1 рода      (8.7)

Если этот предел существует и конечен, то сходящийся несобственный интеграл называется сходящимся несобственным интегралом от f(x) на интервале [а,+ ∞), а функцию f(x) называют интегрируемой на бесконечном промежутке [а,+ ∞). В противном случае про интеграл расходяшийся несобственный интеграл говорят, что он не существует или расходится.

Аналогично определяются несобственные интегралы на интервалах (-∞,b] и (-∞, + ∞):

методы интегрирования

Определим понятие интеграла от неограниченной функции. Если f(x) непрерывна для всех значений x отрезка [a,b], кроме точки с, в которой f(x) имеет бесконечный разрыв, то несобственным интегралом II рода от f(x) в пределах от a до b называется сумма:

интеграл от неограниченной функции

если эти пределы существуют и конечны. Обозначение:

=                              (8.8).

Примеры вычисления интегралов

Пример 3.30. Вычислить ∫dx/(x+2).

Решение. Обозначим t = x+2, тогда dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| + C .

Пример 3.31. Найти ∫ tgxdx.

Решение.∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. Пусть t=cosx, тогда ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

Пример 3.32. Найти ∫dx/sinx

Решение.

вычисление неопределенного интеграла

Пример3.33. Найти вычисление интеграла от дроби.

 

Решение.  =

.

Пример3.34. Найти ∫arctgxdx.

Решение. Интегрируем по частям. Обозначим u=arctgx, dv=dx. Тогда du = dx/(x2+1), v=x, откуда ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x2+1) = xarctgx + 1/2 ln(x2+1) +C; так как
∫xdx/(x2+1) = 1/2 ∫d(x2+1)/(x2+1) = 1/2 ln(x2+1) +C.

Пример3.35. Вычислить ∫lnxdx.

Решение. Применяя формулу интегрирования по частям, получим:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Тогда ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

Пример3.36. Вычислить ∫exsinxdx.

Решение. Применим формулу интегрирования по частям. Обозначим u = ex, dv = sinxdx, тогда du = exdx, v =∫sinxdx= - cosx → ∫ exsinxdx = - excosx + ∫ excosxdx. ∫excosxdx также интегрируем по частям: u = ex, dv = cosxdx, du=exdx, v=sinx. Имеем:
∫ excosxdx = exsinx - ∫ exsinxdx. Получили соотношение ∫exsinxdx = - excosx + exsinx - ∫ exsinxdx, откуда 2∫exsinx dx = - excosx + exsinx + С.

Пример 3.37. Вычислить J = ∫cos(lnx)dx/x.

Решение.Так как dx/x = dlnx, то J= ∫cos(lnx)d(lnx). Заменяя lnx через t, приходим к табличному интегралу J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.

Пример 3.38. Вычислить J = замена переменной.

Решение. Учитывая, что  = d(lnx), производим подстановку lnx = t. Тогда J = .

Пример 3.39. Вычислить J = .

 

Решение. Имеем: . Поэтому =



=.

Пример 3.40. Можно ли применить формулу Ньютона-Лейбница к интегралу ?

Решение. Нет, нельзя. Если формально вычислять по формуле Ньютона-Лейбница, то получим неверный результат. Действительно, вычисление интеграла по формуле Ньютона-Лейбница= .

Но подынтегральная функция f(x) =  > 0 и, следовательно, интеграл не может равняться отрицательному числу. Суть дела заключается в том, что подынтегральная функция f(x) =  имеет бесконечный разрыв в точке x = 4, принадлежащей промежутку интегрирования. Следовательно, здесь формула Ньютона-Лейбница неприменима.

Пример 3.41. Вычислить .

Решение. Подынтегральная функция определена и непрерывна при всех значениях х и, следовательно, имеет первообразную F(x)= .

По определению имеем: = .

По формуле Ньютона-Лейбница,

= F(b) - F(0) =  + = ;

= = .