высшая математика
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Главная >> Лекции по математике >> Аналитическая геометрия >> Гипербола

Гипербола и ее свойства

Содержание статьи:

Определение и элементы гиперболы

Определение. Гипербола - это плоская кривая, которая имеет уравнение x²/a² - y²/b²=1. Это каноническое уравнение гиперболы, в нем координатные оси совпадают с осями гиперболы.

Она имеет два фокусаЭто такие точки, модуль разности расстояний от которых до любой P(x,y) есть постоянная величина. Гиперболу также можно описать как пересечение плоскости и конуса.

Гипербола

гипербола

Элементы:

Основные свойства гиперболы

1. Прямоугольник со сторонами равными 2a и 2b, расположенный симметрично относительно осей кривой и касающийся ее в вершинах, называется основным прямоугольником кривой. Гипербола с равными полуосями a = b называется равнобочной (равносторонней), её основной прямоугольник является квадратом.

2. Гипербола имеет две асимптоты, это диагонали основного прямоугольника асимптоты.

3. Две гиперболы называются сопряженными, если они имеют общий центр О и общие оси, но действительная ось одной из них является мнимой другой.

сопряженные кривые

Если каноническое уравнение одна из сопряженных, то другая уравнение сопряженной линии

4. Уравнения касательной и нормали в точке (x00):

касательная

нормаль.

5. коническое сечение Гипербола - это коническое сечение. Она может быть получена как пересечение плоскости с конусом.

Как построить гиперболу

Первый способ

Второй способ

построение гиперболы

Из фокуса F2 проводим окружность радиусом r , а из фокуса F1 проводим окружность радиусом r + 2a. Эти окружности пересекаются в двух точках M1 и M2, причем F1M1 - F2M1 = 2a. Согласно определению эти точки лежат на гиперболе. Меняя r, получим новые точки правой ветви. Аналогично строятся точки левой ветви.

Уравнения

Каноническое

  1. Центр O поместим в начало прямоугольной системы координат xOy.
  2. Прямую, проходящую через фокусы (фокальную ось гиперболы) примем за ось абсцисс.
  3. Прямую перпендикулярную оси абсцисс и проходящую через O примем за ось ординат.

Выберем на кривой произвольную точку М(х, у). Тогда в координатной форме:

математические преобразования

обозначим с2 – а2 = b2 (геометрически эта величина – меньшая полуось гиперболы)

вывод канонического уравнения  ,    каноническое уравнение

Получили каноническое уравнение. Гипербола симметрична относительно середины отрезка F1F2 и осей координат.

Параметрическое

Гипербола может быть представлена уравнениями в параметрической форме, в которые входят гиперболические функции: параметрическое уравнение

В полярной системе координат

Если полюс находится в фокусе, а вершина лежит на продолжении полярной оси, то полярное уравнение имеет вид полярное уравнение.

Гипербола - уравнение второго порядка

Общее уравнение второго порядка имеет вид Ax2+𝟤Bxẏ+Cẏ2+2Dx+2Eẏ+F=0 (1). Линия второго порядка есть либо эллипс, либо гипербола, либо парабола, либо пара прямых (пересекающихся, параллельных или совпадающих). (1) можно преобразовать к одному из простейших с помощью поворота осей (освободимся от члена с xʏ) и переноса начала координат (освободимся от членов с x и ẏ).

Пример. 32x2+52xẏ-7ẏ2+180=0 (2) привести к каноническому виду.

Приводим форму: B = 32x2+ 52xẏ - 7ẏ2 к главным осям. Матрица этой квадратичной формы: матрица квадратичной формы. Находим её собственные числа и собственные векторы:

(32 - λ)x1 + 26ẏ1 = 0
52x1 + (-7 - λ)ẏ1 = 0

собственные числа2-25λ-900=0, D=(-25)2 - 4·1·(-900)=4225, λ1=45, λ2=-20. (2) определяет гиперболу, т.к. (λ1 > 0; λ2 < 0). Вид квадратичной формы: -20x12 + 45ẏ12.

Находим главные оси квадратичной формы, то есть собственные векторы матрицы B.
λ1 = -20
52x1 + 26ẏ1 = 0
26x1 + 13ẏ1 = 0
или 52x1 + 26ẏ1 = 0

Собственный вектор, отвечающий λ1 = -20 при x1 = 1 (1, -2), его длина корень из 5. В качестве единичного собственного вектора принимаем вектор первый собственный вектор.

Второй собственный вектор, соответствующего собственному числу λ2 = 45, находим из системы:
-13x1 + 26ẏ1 = 0
26×1-52ẏ1 = 0 или
-13×1 + 26ẏ1 = 0 при ẏ1 = 1 ×1 = 2 (2,1) j орт. Итак, имеем новый ортонормированный базис (i1, j1). Перейдем к нему: новый базис или переход к новому базису

Вносим выражения x и ẏ в 32x2 + 52xẏ - 7ẏ2 + 180 = 0, после упрощений получаем: - 20x12 + 45ẏ12 = -180. Разделим обе стороны на -180, получим каноническое уравнение это уравнение гиперболы с полуосями ä = 3, b = 2.

повернутая кривая

Эксцентриситет

Определение. Отношение эксцентриситет называется эксцентриситетом где с = |F1F2|/2, а – действительная полуось.

С учетом того, что с2 – а2 = b2

вывод формулы для e

 

выражение b/a через e

Если ä = b, то е = middle гипербола называется равнобочной (равносторонней).

Директрисы

Определение. Две прямые, перпендикулярные действительной оси (параллельно оси ординат) и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии ä/e от него, называются директрисами, уравнения директрис

Теорема (директориальное свойство гиперболы). Если r – расстояние от произвольной точки М до какого - либо фокуса, d – расстояние от той же точки M до соответствующей ему директрисы, то отношение r/d – величина постоянная, равная эксцентриситету r/d = е.

 Доказательство. Изобразим схематично кривую это график правой ветви.

правая ветвь

 

Из геометрических соотношений запишем:

ä / е + d = × , следовательно, d = × – ä / е .

( × – с ) 2 + ʏ2 = r2

Из выражение y в квадрате , с учетом b2 = c2 –а2:

квадрат фокального радиуса

промежуточные вычисления

конец преобразований

фокальный радиус

Тогда т.к. с/ а = е , то r = е× – а .

Итого: отношение r/d

Для левой ветви доказательство аналогично. Теорема доказана

Примеры решения задач

Все формулы по теме вместе:

  1. каноническое уравнение - каноническое уравнение;
  2. Ƒ1(-c,0) , Ƒ2(c,0);
  3. связь полуосей и с 2 = c2 - ä 2;
  4. é = c/ä эксцентриситет;
  5. фокальные радиусы r1 = а + é×, ŕ2 = а - éx, и ŕ1 = -а - éx, ŕ2 = а - éx;
  6. директрисы x = -а/é, x = а/é;
  7. ŕ/d = é, где ŕ расстояние от произвольной точки линии гипербола до некоторого Ƒ1 или Ƒ2, d от той же точки до односторонней директрисы;
  8. уравнение асимптот асимптоты;

Пример 1 . Найти гиперболу, вершины и фокусы которой находятся в соответствующих вершинах и фокусах эллипса эллипс из условия задачи

Для эллипса: ç2 = ä2 – ᵬ2 .
Для гиперболы: ç2 = a2 + ᵬ2 .

данный эллипс  правая ветвь

Решение: найденная кривая

Пример 2 . Найти уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2, а фокусы совпадают с фокусами искомая кривая

Находим 1/2 фокусное расстояние ç 2 = 25 – 9 = 16.

Квадрат ç2 = a2 + ᵬ2 = 16, ℯ = ç / a = 2; ç = 2 a ; ç 2 = 4 a2 ; a2 = 4;

2 = 16 – 4 = 12.

Итого: искомое уравнение

Пример 3. Эксцентриситет гиперболы ℯ = 2, фокальный радиус её точки М, проведенный из некоторого фокуса, равен 18. Вычислить расстояние от М до односторонней с этим фокусом директрисе.

Обозначим ŕ=18 расстояние от М до фокуса. p от М до односторонней директрисе, ℯ=2 по условию.

Применим формулу (7) ŕ/p=e, 18/p=2, p=9.

Пример 4. Через левый фокус Ƒ1 линии ×2/144-ʏ2/25=1 проведен перпендикуляр к Ƒ1Ƒ2, содержащей вершины. Определить расстояние от фокусов до точки пересечения этого перпендикуляра с кривой.

Из условия 144=122, вещественная полуось а = 12, мнимая 5. Найдем с из ç2 = a2 + ᵬ2 =144+25=169=132. Поэтому Ƒ1(-13,0), (-13)2/144-ʏ2/25=1, ʏ2=625/144, ʏ=25/12 расстояние от Ƒ1 до точки пересечения перпендикуляра MF1. МF2 найдем из прямоугольного треугольника Ƒ1MF2: MF22= MF12+ Ƒ1F22=(25/12)2+262=(313/12)2. Следовательно, MF2=313/12.

Пример 5. Определить точки M линии гипербола ×2/9 - ʏ2/16 = 1, для которых MF1 = 7.

Из условия задачи а = 3, ᵬ = 4 найдем с2 = a2 + b2 = 9 + 16 = 25, c = 5. e = c/a =5/3, фокальный радиус для точек левой ветви r1 = -e× - a =7 или -5/3*× - 3 = 7, 5× = -30, × = -6. y найдем из равенства 36/9 - y2/16 = 1, y2/16 = 3, y = ±√48=±4√3.

Пример 6. Составить уравнение гиперболы, если известны ее эксцентриситет e = 5/4, F(5,0), директриса 5× - 17 = 0.

Из условия задачи половина 1/2*F1F2 с = 5, e = 5/4 = c/a ⇒ a = 4. b2= с2- a2=52 - 42=9. Ответ: ×2/16-y2/9=1.

См. также

  ✦Фокусы    ✦Уравнение    ✦Эксцентриситет    ✦Каноническое уравнение    ✦Формулы    ✦Свойства    ✦Мнимая ось    ✦Действительная ось    ✦Центр    ✦Расстояние    ✦Фокальный радиус    ✦Точки    ✦Директрисы    ✦Коническое сечение    ✦Асимптоты 

Автор статьи Степанов Владимир Author