высшая математика
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Главная >> Лекции >> Линейная алгебра >>Метод исключения неизвестных    Матричный калькулятор

Метод Гаусса

Метод Гаусса применен к решению систем с одним решением, с бесконечным количеством решений и не имеющим решений.

Определение. Метод исключения неизвестных Гаусса представляет собой метод решения линейной системы Ax = b (состоящий из m уравнения и n неизвестных) путем преобразования расширенной матрицы

расширенная матрица системы

к треугольной форме.

треугольная форма матрицы Этот метод также называется метод исключения неизвестных.

Следующие примеры иллюстрируют метод Гаусса.

Метод Гаусса применим для решения системы с единственным решением

Пример 1. Использовать метод Гаусса для решения линейной системы.

линейная система

Решение: Расширенная матрица имеет вид расширенная матрица исходной системы Метод состоит из следующих шагов:

    1. Поменяем местами первое и второе уравнение, чтобы коэффициент у х в первом уравнении не был равен нулю

    преобразуем уравнения системыновая расширенная матрица

    2. Разделим первое уравнение на 2, чтобы коэффициент у х стал равен 1

    3. Первое уравнение умножаем на -1 и складываем с третьим уравнением

    4. Второе уравнение умножаем на -1 и складываем с третьим.

    5. Умножим третье уравнение на -2/3

    Последнее уравнение дает z = 1 , второе уравнение дает теперь y = 1.

    Наконец, первое уравнение дает x = 1. Следовательно, решение исходной системы х = 1, у = 1, z = 1.

    Решение системы с бесконечным множеством решений

    Пример 2. Решить систему линейных уравнений .

    Решение: Расширенная матрица имеет вид Метод Гауссаи метод исключения неизвестных осуществляется следующим образом:
  1. Первое уравнение умножим на -1 и сложим со вторым

  2. Умножим первое уравнение на -3 и сложим с третьим

  3. Умножим второе уравнение на -1 и сложим с третьим

Таким образом, y = 2 - z, x = 1, где z любое число. Т.е. система имеет бесконечное число решений.

Решение системы не имеющей решений

Пример 3

Решить линейную систему.

 

Решение: В этом случае, расширенная матрица имеет вид решение систем и метод исключения неизвестных осуществляется следующим образом:

  1. Умножим первое уравнение на -1 и сложим со вторым .

  2. Умножим первое уравнение на -3 и сложим с третьим уравнением .

  3. Второе уравнение умножим на -1 и сложим с третьим

Третье уравнения системы имеет вид- 0x+0y+0z = 1 Это равенство не выполняется ни при каких значениях неизвестных x, y, z. Таким образом, система не имеет решений.

Примечание   Обратите внимание, что для решения линейной системы уравнений методом Гаусса Ax = b нужно применять только элементарные преобразования расширенной матрицы [A|b]