высшая математика
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Главная >> Лекции >> Аналитическая геометрия >>Эллипс

Эллипс и его свойства

Содержание статьи:

Определение и элементы эллипса

Определение. Эллипс - это замкнутая плоская кривая, которая имеет уравнение x²/a²+y²/b²=1. Это каноническое уравнение эллипса, в нем координатные оси совпадают с осями эллипса.

Он имеет два фокуса. Это такие точки, сумма расстояний от которых до любой P(x,y) есть постоянная величина. Эллипс также можно описать как пересечение плоскости и кругового цилиндра.

Эллипс

эллипс

 

Элементы:

Теорема. Фокусное расстояние c и полуоси эллипса связаны соотношением:

a² = b² + c².

Доказательство: В случае, если М лежит на пересечении кривой с вертикальной осью, r1 + r2 = 2*большая полуось(по теореме Пифагора). В случае, если М - пересечение его с горизонтальной осью, r1 + r2 = а – c + а + c. Т.к. по определению сумма r1 + r 2 – постоянна, то , приравнивая, получаем:

a² = b² + c²

r1 + r2 = 2 а .

Основные свойства эллипсa

свойство касательной

  1. Угол между касательной к эллипсу и фокальным радиусом r1 равен углу между касательной и радиусом r2. Лучи, выпущенные из одного фокуса, после отражения соберутся во втором фокусе.
  2. Уравнение касательной к эллипсу в М с координатами (xM, yM): уравнение касательной.
  3. Если две параллельные прямые пересекают эллипс, то отрезок соединяющий середины отрезков образовавшихся при пересечении прямых и эллипса, всегда будет проходить через (.) O эллипсa. (Это свойство дает возможность находить центр эллипса.)
  4. При равенстве полуосей эллипс превращается в окружность.
  5. коническое сечение Эллипс это коническое сечение. Он может быть получен как пересечение плоскости с конусом.

Уравнение

  1. Каноническое уравнение в декартовой системе координат, центр в начале координат, большая ось на оси абсцисс: . Эллипс - кривая второго порядка. Координаты x и y входят только в четных степенях, поэтому эллипс симметричен относительно осей координат. Оси координат пересекают эллипс в A1(-a,0), A2(a,0), B1(0,-b), B2(0,b). Эллипс лежит в прямоугольнике 2a и 2b.
  2. Центр смещен в ( xo, yo):
  3. Параметрическое: , где 0 ≤ α ≤ 2 π.
  4. В полярной системе координат: , где полюс полярной системы координат левый фокус F1, полярная ось луч F1 , F2, p = b²/a фокальный параметр.

Радиус круга вписанного в эллипс

Круг, вписанный в эллипс касается только двух вершин эллипсa B1 и B2. Соответственно, радиус вписанного круга будет равен длине малой полуоси эллипсa r = b.

Радиус круга описанного вокруг эллипсa

Круг, описанный вокруг эллипсa касается только двух вершин эллипсa A1 и A2. Соответственно, радиус описанного круга R будет равен длине большой полуоси эллипсa R = a.

Как построить эллипс

П е р в ы й  с п о с о б.

сумма фокальных радиусов = 2а

Сумма расстояний от любой точки эллипсa до его фокусов величина постоянная равная 2а.

  1. Иголки втыкаем в фокусы F1 , F2.
  2. К иголкам привязываем нитку длинной 2а.
  3. Нитку оттягиваем карандашом и чертим.

В т о р о й  с п о с о б.

построение эллипса

Проводим две концентрические окружности радиуса a и b.
Через центр О проводим произвольный луч ON.
Через точки K и M, в которых луч ON пересекает окружности, проводим прямые соответственно параллельные осям Ox и Oy.
Точка их пересечения L - точка искомого эллипса.
Меняя направление луча ON, получим новые точки эллипсa.

 

Эксцентриситет эллипса

Определение. Форма эллипса определяется характеристикой, которая равна отношению е = с/a называется эксцентриситетом, характеризует вытянутость фигуры. Чем эксцентриситет ближе к нулю, тем линия больше напоминает окружность и наоборот, чем эксцентриситет ближе к единице, тем он более вытянут.

Т.к. с < а , то е < 1.

Определение. Величина k = b / а - коэффициентом сжатия (эллиптичность), а величина 1 – k = ( а – b )/ а - сжатие.

Коэффициент сжатия k и эксцентриситет е связаны соотношением: k² = 1 – е² . Чем меньше эксцентриситет эллипса, тем эллипс будет менее сплющенным, то есть больше походить на окружность. Если а = b ( с = 0, е = 0), то эллипс превращается в окружность.

Если для точки М(х 1 , у 1 ) выполняется условие: внутренняя часть фигуры, то она находится внутри линии эллипс, а если внешность, то M находится вне его.

Теорема. Для произвольной точки М(х, у), принадлежащей эллипсу верны соотношения:

r 1 = а – еx , r2 = а + еx .

Доказательство. Выше было показано, что r1 + r2 = 2 а . Из геометрических соображений можно записать:

радиус-векторы точки

сумма радиус-векторов

После возведения в квадрат и приведения подобных слагаемых:

квадрат суммы радиус-векторов

приводим подобные члены

делим обе стороны на 4

Аналогично доказывается, что r2 = а + еx . Теорема доказана.

Директрисы эллипса

Эллипс имеет две директрисы:

x = а / е ; x = - а / е .

директрисы

 

Теорема. Для того, чтобы точка лежала на границе линии эллипс, необходимо и достаточно, чтобы отношение расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось е.

Площадь эллипса и его сегмента

Формула площади эллипса S = πab.

Площадь сегмента (зеленый на рис.) можно определить по формуле площадь сегмента

сегмент

Если эллипс задан уравнением Ax² + Bxy + Cy² = 1, то его площадь площадь эллипса.

Периметр эллипсa

Точная формула периметра эллипсa очень сложная. Периметр в общем виде

Приближенная формула длины периметра имеет вид периметр.

Решение задач на эллипс

Соберем все формулы вместе:

  1. уравнение линии - каноническое уравнение эллипса;
  2. координаты левого фокуса F1(-c,0), правого F2(c,0);
  3. связь а, b, с  a² = b² + c²
  4. e = c/а эксцентриситет;
  5. фокальные радиусы r1 = a + ex, r2 = a - ex;
  6. директрисы x = -a/e, x = a/e;
  7. расстояние между директрисами 2a/e;
  8. Площадь эллипса S = πab.

Пример 1. Составить уравнение прямой, проходящей через F1 и нижнюю вершину линии эллипс: исходная кривая

Решение:

прямая, проходящей через две точки  искомая прямая

Пример 2. Дана кривая 9x2 + 25y2 = 225. Найти: 1) показать, что это эллипс, найти его полуоси 2) эксцентриситет 3) директрисы.

Решение:

Разделим обе стороны на 225

исходная кривая

сократим, получим каноническое уравнение эллипса

промежуточная кривая     конечная кривая

Следовательно, 1) полуоси a = 5, b = 3, 2) F1(-c, 0), F2(c, 0) с определим из равенства b2 = a2 - c2,  c2 = a2 - b2= 25 - 9 = 16,  c = 4, поэтому  левый фокус F1(-4, 0), правый F2(4, 0).

3) e = c/a=4/5.

4) уравнение директрис x = ±a/e =±5*5/4=±25/4.

 

Пример 3. Эксцентриситет e = 1/3, центр его совпадает с началом координат, F1 (-2;0). Вычислить расстояние от точки M1 с абсциссой, равной 2, до директрисы, односторонней с данным фокусом.

Решение:

Т.к. F1 (-2;0), то с = 2. Зная с и e = 1/3, определим а. e = c/a, а = c/е = 2*3=6. Уравнение директрисы x = -а/e = -6*3 = -18. Точка M1 имеет координату х = 2. Следовательно, d = |-18|+2=20.

расстояние от левой директрисы до правого фокуса

Пример 4. Определить точки эллипса x2/100+y2/36 =1, расстояние от которых до F2 равно 14. Найти директрисы.

Решение:

a = 10, b = 6, c2 = а2 - b2 = 100 -36 = 64 = 82. Найдем эксцентриситет е = c/а = 8/10 = 4/5. Используем формулу для r2 = а - еx, 14 = 10 - 4/5*x, отсюда х = -5. Подставим в исходное координату х и найдем у = ±√27 = ±3√3. Условиям задачи удовлетворяют точки (-5; 3√3) и (-5; -3√3).
Уравнения директрис x = ±a/e = ±10/4/5 = ±25/2 = ±12,5.

  

✦Эллипс    ✦Фокус F1, F2    ✦Уравнение эллипса    ✦Малая полуось    ✦Большая полуось    ✦Эксцентриситет    ✦Каноническое уравнение    ✦Формулы    ✦Свойства    ✦Малая ось    ✦Большая ось    ✦Центр    ✦Расстояние    ✦Радиус    ✦Точки    ✦Директрисы    ✦Коническое сечение 

Автор статьи Степанов Владимир Author