ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Главная >> Лекции >> Математический анализ >>Разностные уравнения

Разностные уравнения

Определение разностного уравнения

На практике простейшие разностные уравнения возникают при исследовании например величины банковского вклада. Эта величина является переменной Yx, представляющей сумму, которая накапливается по установленному закону при целочисленных значениях аргумента x. Пусть сумма Yo положена в банк при условии начисления 100 r сложных процентов в год. Пусть начисление процентов производится один раз в год и x обозначает число лет с момента помещения вклада (x = 0, 1, 2,...). Обозначим величину вклада по истечении x лет через Yx. Мы получаем

Yx = (1+r)Yx-1.

Если начальная сумма составляет Yo, мы приходим к задаче отыскания решения полученного разностного уравнения, подчиненного начальному условию Yx = Yo при x = 0. Полученное разностное уравнение содержит Yx и значение этой переменной на один год раньше, т.е. Yx-1; в данном случае аргумент x явно не входит в разностное уравнение.

Вообще говоря, обыкновенное разностное уравнение устанавливает связь между значениями функции Y = Y(x), рассматриваемой для ряда равноотстоящих значений аргумента x, но можно без ограничения общности считать, что искомая функция определена для равноотстоящих значений аргумента с шагом, равным единице. Таким образом, если начальное значение аргумента есть x, то ряд его равноотстоящих значений будет x, x+1, x+2,... и в обратном направлении: x, x-1, x-2,.... Соответствующие значения функции будем обозначать Yx,Yx+1,Yx+2,... или Yx, Yx-1, Yx-2,.... Определим так называемые разности различных порядков функции Yx с помощью следующих формул:

Разности первого порядка

D Yx = Yx+1 - Yx,

D Yx+1 =Yx+2 - Yx+1,

DYx+2 = Yx+3 - Yx+2,

 ...   ...   ...   ...   ...

Разности второго порядка

D2Yx= DYx+1 - D Yx,

D2Yx+1= D Yx+2 - DYx+1,

D2Yx+2= D Yx+3 - DYx+2,

    ...   ...   ...   ...   ...

Разности третьего порядка

D3Yx= D2Yx+1 - D2Yx,

D3Yx+1= D2Yx+2 - D2Yx+1,

    ...   ...   ...   ...   ...

Обыкновенным разностным уравнением называется уравнение, связывающее значения одного независимого аргумента x, его функцииYx и разностей различных порядков этой функции DYx, D2Yx, D3Yx,.... Такое уравнение можно записать в общем виде следующим образом:

j(x, Yx, DYx, D2Yx D3Yx, DnYx) = 0,                        (10.1)

которое по форме аналогично дифференциальному уравнению.

Порядком разностного уравнения называется порядок наивысшей разности, входящей в это уравнение. Разностное уравнение (10.1) часто удобнее записать, пользуясь не разностями неизвестной функции, а ее значениями при последовательных значениях аргумента, то есть выразить DYx, D2Yx, D3Yx,... через Yx, Yx+1, Yx+2,.... Уравнение (10.1) можно привести к одной из двух форм:

y(x, Yx, Yx+1,...,Yx+n) = 0,                                (10.2)

x(x, Yx, Yx-1,...,Yx-n) = 0.                                        (10.3)

Общее дискретное решение Yx обыкновенного разностного уравнения n-го порядка представляет функцию x (x = 0, 1. 2,...), содержащую ровно n произвольных постоянных:

Yx = Y(x, C1, C2,..., Cn).

Паутинообразная модель

Пусть рынок какого-либо отдельного товара характеризуется следующими функциями спроса и предложения:

D = D(P), S = S(P).

Для существования равновесия цена должна быть такой, чтобы товар на рынке был распродан, или

D(P) = S(P).

Цена равновесия задается этим уравнением (которое может иметь множество решений), а соответствующий объем покупок-продаж, обозначаемый через , - следующим уравнением:

= D () = S().

Динамическая модель получается при наличии запаздывания спроса или предложения. Простейшая модель в дискретном анализе включает неизменное запаздывание или отставание предложения на один интервал:

Dt = D (Pt) и St = S (Pt-1).

Это может случиться, если для производства рассматриваемого товара требуется определенный период времени, выбранный за интервал. Действие модели таково: при заданном Pt-1 предшествующего периода объем предложения на рынке в текущем периоде будет S (Pt-1), и величина Pt должна установиться так, чтобы был куплен весь объем предложенного товара. Иными словами, Pt и объем покупок-продаж Xt характеризуются уравнением:

Xt = D (Pt) = S (Pt-1).

Итак, зная исходную цену Po, с помощью этих уравнений мы можем получить значения P1 и X1. Затем, используя имеющуюся цену P1, из соответствующих уравнений получим значения P2 и X2 и т.д. В общем изменение Pt характеризуется разностным уравнением первого порядка (одноинтер­вальное отставание):

D (Pt) = S (Pt-1).

Решение можно проиллюстрировать диаграммой, представленной на рис.5, где D и S - соответственно кривые спроса и предложения, а положение равновесия (со значениями и ) соответствует точке их пересечения Q. Цена в начальный момент времени равна Po. Соответствующая точка Qo на кривой S дает объем предложения в период 1. Весь этот предложенный объем товара раскупается при цене P1, заданной точкой Q1 на кривой D с той же ординатой (X1), что и Qo. Во второй период времени движение происходит сначала по вертикали от точки Q1 к точке на кривой S, дающей X2, а затем по горизонтали - к точке Q2 на кривой D. Последняя точка характеризует P2. Продолжение этого процесса и дает график паутины, показанный на рис. 5. Цены и объемы (покупок - продаж) в последовательные периоды времени являются соответственно координатами точек Q1, Q2, Q3,... на кривой спроса D. В рассматриваемом случае последовательность точек стремится к Q. При этом точки поочередно располагаются на левой и правой стороне от Q. Следовательно, и значения цены Pt стремятся к , располагаясь поочередно по обе стороны от . Точно так же обстоит дело и с объемами покупок - продаж (X t).

 

Решение можно получить алгебраически для случая линейных функций спроса и предложения: D = a +aP, S = b +bP. Значения равновесия и будут заданы уравнениями

= a +a = b +b,

то есть

= (a - b)/(b - a), = (ba - ab)/(b - a).                  (10.4)

Дискретная динамическая модель задается уравнением

X t = a +aP t = b +bP t-1.                                            (10.5)

Ищем сначала решение, дающее равновесие. Для этого положим P t = , X t = для всех значений t:

= a +a = b +b.                                            (10.6)

Получаем те же значения и , что и в (10.4). Следовательно, если в каком-либо периоде существовали цены и объемы, обеспечивающие равновесие, то в динамической модели (10.5) они сохранятся и в последующих периодах.

Вычтем уравнение (10.6) из (10.5) и положим р t = P t -, x t = X t -. Тогда

x t = aр t = bр t-1.                                               (10.7)

Уравнения (10.7) аналогичны (10.5), за исключением того, что они описывают отклонения от уровней равновесия (теперь уже известно, что таковые существуют). Оба эти уравнения являются разностными уравнениями первого порядка. Положим c = b/a и подставим его в уравнение (10.7), так что разностное уравнение относительно р t будет

р t = c р t-1.                                                 (10.8)

При данном значении р o в момент t = 0 из (10.8) получаем решение:

р t = рo c t,

или

P t = + (Po - ) c t.

МЕНЮ

Высшая математика Решение контрольных
Оплата контрольных
Вопросы по Skype
Редактор формул
Лекции
Видео-лекции
Учебники on-line
Скачать учебники
Решатели задач
О математике
Карта сайта

Каталог-Молдова - Ranker, Statistics

Copyright © 2004-2015