ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Эротический видео-чат «Видео-девочка.тв»

Главная >> Лекции >>Математический анализ >>Производная

Производная, правила и формулы дифференцирования

Производная определение, свойства, виджет для нахождения производных on-line.

Определение производной

Пусть задана функция f(x) на интервале (a,b). Зафиксируем точку x внутри (a,b) и придадим x приращение ∆x, MP секущая, приращение функции ∆y = f(x+∆x)-f(x).  Рассмотрим отношение

производная функции

  это тангенс угла наклона секущей MP, он является функцией  ∆x.

Определение. Производной называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента , когда приращение аргумента стремится к нулю:

Существует несколько способов обозначения производной, самые важные это

Пример нахождения , используя определение:

;

 

Геометрический смысл производной

 

геометрический

По определению , устремим точку M к точке P, это эквивалентно стремлению  .

Предельное положение секущей MP это касательная к кривой в точке M, ее угловой коэффициент равен

Следовательно, производная в точке х равна тангенсу угла наклона касательной в этой точке.

Уравнение касательной в точке имеет вид , т.к.

, то уравнение касательной примет вид . Найдем уравнение нормали, перпендикулярной данной касательной и проходящей через точку . Из условия перпендикулярности прямых  угловой коэффициент нормали равен , а уравнение нормали в точке примет вид

 

Механический смысл производной

Пусть прямолинейное движение материальной точки задано законом S = S(t). Путь, который проследует точка за время ∆t равен ∆S = S(t+∆t)-S(t). Средняя скорость есть , мгновенная скорость .

Пример.

Пусть дан закон движения материальной точки , найти скорость точки через t = 3 сек.

.

 

Дифференциал функции

Пусть задана функция y = f(x) на интервале (a,b). Функция y = f(x) дифференцируемой в точке x, если ∆y можно представить с помощью следующего выражения:

y = Ax + α(∆x)∆x,

где А= const при фиксированном  х и при .

Теорема. Для дифференцируемости функции в точке х необходимо и достаточно, чтобы функция имела в этой точке конечную производную.

Дифференциалом функции y = f(x) называется выражение вида dy=A - это главная линейная часть приращения ∆y , на основании предыдущей теоремы , обозначив дифференциал независимой переменной через dx=∆x, получим  выражение для дифференциала функции:

.

Геометрический смысл дифференциала виден из следующего рисунка

дифференциал

, т.е. дифференциал функции равен отрезку PQ это приращение ординаты касательной, а приращение функции ∆y это отрезок .

 

Формулы дифференцирования

 

 

 

Таблица производных

 

 

 

Производная сложной функции

Если y = f(x) и u = u(x), то есть y=f[u(x)] сложная функция, где функции f(u) и u(x) имеют производные, то

это правило дифференцирования сложной функции.

Пример.

 

Производная обратной функции

Пусть задана функция y = f(x), тогда определена обратная функция x = ϕ(y). Для функции y = 5x обратная функция , для функции  обратная функция .  Пусть функция y = f(x) возрастает или

убывает на (a,b) и непрерывна, тогда существует обратная функция x = ϕ(y) и ее производная

.

Примеры. Найти производную обратной тригонометрической функции y = arcsinx.  Обратная функция  x = siny и , по формуле для обратной функции .

Найдем функции  y = arctgx. Обратная функция  x = tgy,  .

 

Логарифмическое  дифференцирование

Пусть имеется функция найдем ее производную. Сначала прологарифмируем  данное выражение, получим  lny = v(x)lnu(x). Теперь продифференцируем

.

Пример. Найти функции .

Логарифмируем данную функцию lny = xlnx, теперь дифференцируем

   ;   .

 

Применение  дифференциалов  в приближенных вычислениях

Вычислить

Используем приближенное равенство ,

;

 .

 

 

Виджет для нахождения on-line

. В окошко введите свою функцию вместо x^2+x+1, и нажмите кнопку Submit, получите искомую . А если в окне результата нажмете на Show steps в правом верхнем углу, то получите подробное решение.

Правила ввода функций: sqrt(x)- квадратный корень, cbrt(x) - кубический корень, exp(x) - экспонента, ln(x) - натуральный логарифм, sin(x) - синус, cos(x) - косинус, tan(x) - тангенс, cot(x) - котангенс, arcsin(x) - арксинус, arccos(x) - арккосинус, arctan(x) - арктангенс. Знаки: * умножения, / деления, ^ возведение в степень. Пример: функция вводится так sqrt(tan(x/2)).

Автор: Степанов Владимир
О авторе

 

МЕНЮ

Высшая математика Решение контрольных
Оплата контрольных
Вопросы по Skype
Редактор формул
Лекции
Видео-лекции
Учебники on-line
Скачать учебники
Решатели задач
О математике
Карта сайта

Каталог-Молдова - Ranker, Statistics

Copyright © 2004-2013