logo
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Главная >> Лекции >>Математический анализ >>Производная функции

Производная, правила и формулы дифференцирования

Производная функции определение, свойства, виджет для нахождения производных on-line.

Определение производной

Пусть задана функция f(x) на интервале (a,b). Зафиксируем точку x внутри (a,b) и придадим x приращение ∆x, MP секущая, приращение функции ∆y = f(x+∆x)-f(x).  Рассмотрим отношение

производная функции

это тангенс угла наклона секущей  это тангенс угла наклона секущей MP, он зависит от  ∆x.

Определение. Производной называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента , когда приращение аргумента стремится к нулю:

определение производной

Существует несколько способов обозначения производной, самые важные это обозначения производной.

Пример нахождения , используя определение:

Геометрический смысл производной

геометрический смысл производной

По определению определение производнойустремим точку M к точке P , это эквивалентно стремлению дельта x стремится к 0.

Предельное положение секущей MP это касательная к кривой в точке M , ее угловой коэффициент равен угловой коэффициент касательной

производная

Следовательно, производная в точке х равна тангенсу угла наклона касательной в этой точке.

Уравнение касательной в точке точка х0 имеет вид уравнение касательной, т.к.

угловой коэффициент, то уравнение касательной примет вид уравнение касательной. Найдем уравнение нормали, перпендикулярной данной касательной и проходящей через точку точка х0. Из условия перпендикулярности прямых условие перпендикулярности прямых угловой коэффициент нормали равен угловой коэффициент нормали, а уравнение нормали в точке точка х0 примет вид

уравнение нормали

Механический смысл производной

Пусть прямолинейное движение материальной точки задано законом S = S(t). Путь, который проследует точка за время ∆ равен ∆S = S(t+∆t)-S( t). Средняя скорость естьсредняя скорость, мгновенная скорость мгновенная скорость

Пример.

Пусть дан закон движения материальной точки закон движения точки, найти скорость точки через t = 3 сек.

скорость точки

Дифференциал функции

Пусть задана y = f(x) на интервале (a,b). Функция y = f(x) называется дифференцируемой в точке x, если ∆y можно представить с помощью следующего выражения:

∆y = A∆x + α(∆)∆x

где А= const при фиксированном  х и функция от дельта х при дельта x

Теорема. Для дифференцируемости функции в точке х необходимо и достаточно, чтобы функция имела в этой точке конечную производную.

Дифференциалом функции y = f(x) называется выражение вида dy=Aдельта x- это главная линейная часть приращения ∆y , на основании предыдущей теоремыдифференциал функции, обозначив дифференциал независимой переменной через dx=∆x, получим  выражение для дифференциала:

дифференциал функции

Геометрический смысл дифференциала виден из следующего рисунка

дифференциал функции

приращение ординаты касательной, т.е. дифференциал функции равен отрезку PQ это приращение ординаты касательной, а приращение ∆y это отрезок приращение функции

Формулы дифференцирования

производная константы производная x
производная суммы и разности вынесение константы за знак производной
производная произведения функций производная дроби

Таблица производных

Производная сложной функции

Если y = f(x) и u = u(x), то есть y=f[u(x)] сложная функция, где f(u) и u(x) имеют производные, то

производная сложной функции

это правило дифференцирования сложной функции.

Пример.

пример

Производная обратной функции

Пусть задана y = f(x), тогда определена обратная функция x = ϕ(y). Для y = 5x обратная функция обратная функция, для кубическая парабола обратная функция обратная к кубической параболе.  Пусть y = f(x) возрастает или убывает на (a,b) и непрерывна, тогда существует обратная функция x = ϕ(y) и ее производная

производная обратной функции.

Примеры. Найти производную обратной тригонометрической функции y = arcsinx.  Обратная функция  x = siny и дифференцируем арксинус, по формуле для обратной функции производная арксинуса.

Найдем производная функции для y = arctgx Обратная функция  x = tgy производная арктангенса.

Логарифмическое дифференцирование

Пусть имеется функция показательная функция найдем ее производную. Сначала прологарифмируем  данное выражение, получим  lny = v(x)lnu(x). Теперь продифференцируем производная логарифма функциивыражение производной

выражение для игрик штрих

Пример. Найти функции

Логарифмируем данную функцию lny = xlnx, теперь дифференцируем

;

Применение  дифференциалов  в приближенных вычислениях

Вычислить корень из числа

Используем приближенное равенство приближенное равенство

формула для вычисления корня

вычисление квадратного корня

Виджет для нахождения производная on-line

. В окошко введите свою функцию вместо x^2+x+1, и нажмите кнопку Submit, получите искомую . А если в окне результата нажмете на Show steps в правом верхнем углу, то получите подробное решение.

Правила ввода функций: sqrt(x)- квадратный корень, cbrt(x) - кубический корень, exp(x) - экспонента, ln(x) - натуральный логарифм, sin(x) - синус, cos(x) - косинус, tan(x) - тангенс, cot(x) - котангенс, arcsin(x) - арксинус, arccos(x) - арккосинус, arctan(x) - арктангенс. Знаки: * умножения, / деления, ^ возведение в степень. Пример: функция корень из тангенса вводится так sqrt(tan(x/2)).

Автор: Степанов Владимир
Об авторе