logo
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Главная >> Лекции >> Мат. анализ >>Правило Лопиталя для вычисления пределов

Правило Лопиталя с примерами

Правило Лопиталя (п. Л.) облегчает вычисление пределов функций. Например, надо найти предел функции, которая является отношением функций стремящихся к нулю. Т.е. отношение функций это неопределенность 0/0. Раскрыть ее поможет правило Лопиталя. В пределе отношение функций можно заменить отношением производных этих функций. Т.е. надо производную числителя разделить на производную знаменателя и от этой дроби взять предел.

1. Неопределенность 0/0. Первое п.Л.

Если правило Лопиталя= 0, то первое правило Лопиталя, если последний существует.

2. Неопределенность вида ∞/∞ Второе п. Л.

Нахождение пределов такого типа называется раскрытием неопределенностей.

Если второе правило Лопиталя = ∞, то п.Л., если последний существует.

3. Неопределенности 0⋅∞, ∞- ∞, 1и 00 сводятся к неопределенностям 0/0 и ∞/∞ путем преобразований. Такая запись служит для краткого указания случая при отыскании предела. Каждая неопределенность раскрывается по своему. Правило Лопиталя можно применять несколько раз, пока не избавимся от неопределенности. Применение правила Лопиталя приносит пользу тогда, когда отношение производных удается преобразовать к более удобному виду легче, чем отношение функций.

Пример 1. В этом примере неопределенность 0/0 Пример 1

Пример 2. Здесь ∞/∞ Пример 2

В этих примерах производные числителя делим на производные знаменателя и подставляем предельное значение вместо х.

Пример 3. Вид неопределенности 0⋅∞ Пример 3.

Неопределенность 0⋅∞ преобразуем к ∞/∞, для этого х переносим в знаменатель в виде дроби 1/x , в числителе пишем производную от числителя, а в знаменателе производную от знаменателя.

Пример 4 Вычислить предел функции Пример 4

Здесь неопределенность вида ∞0 Сначала логарифмируем функцию, затем найдем от нее предел Предел функции

Для получения ответа надо е возвести в степень -1, получим e -1.

Пример 5. Вычислить предел от Пример 5 если x → 0

Решение. Вид неопределенности ∞ -∞ Приведя дробь к общему знаменателю перейдем от ∞-∞ к 0/0. Применим правило Лопиталя, однако снова получим неопределенность 0/0, поэтому п. Л. надо применить второй раз. Решение имеет вид:

предел разности = предел дроби = предел отношения производных = частное =
= вторые производные = результат дифференцирования

Пример 6 Решить прмер 6

Решение. Вид неопределенности ∞/∞, раскрыв ее получим

дробь = отношение производных= результат = 0.

В случаях 3), 4), 5) сначала логарифмируют функцию и находят предел логарифма, а затем искомый предел е возводим в полученную степень.

Пример 7. Вычислить предел пример 7

Решение. Здесь вид неопределенности 1. Обозначим A = обозначение

Тогда lnA = отношение функций = отношение функ. = отношение производных = 2.

Основание логарифма е, поэтому для получения ответа надо е возвести в квадрат, получим e 2.

Иногда бывают случаи, когда отношение функций имеет предел, в отличие от отношения производных, которое не имеет его.

Рассмотрим пример:

пример 8

Т.к. sinx ограничен, а х неограниченно растет, второй член равен 0.

предела нет

Эта функция не имеет предела, т.к. она постоянно колеблется между 0 и 2, к этому примеру неприменимо п. Л.

Автор: Степанов Владимир
Об авторе