logo
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Главная >> Лекции >> Линейная алгебра >> Критерий Кронекера-Капелли

Критерий совместимости Кронекера-Капелли

Система линейных уравнений имеет вид:

a11 x1 + a12 x2     +... + a1n xn = b1,

a21 x1 + a22 x2    +... + a2n xn = b2,                          (5.1)

...     ...     ...     ...

am1 x1 + am1 x2 +... + amn xn = bm.

Здесь аi j и bi (i = от 1 до m; j = от 1 до n) - заданные, а xj - неизвестные действительные числа. Используя понятие произведения матриц, можно переписать систему (5.1) в виде:

AX = B,                                                             (5.2)

где A = (аi j) - матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных системы (5.1), которая называется матрицей системы, X = (x1, x2,..., xn)T,
B = (b1, b2,..., bm)T - векторы-столбцы, составленные соответственно из неизвестных xj и из свободных членов bi.

Упорядоченная совокупность n вещественных чисел (c1, c2,..., cn) называется решением системы (5.1), если в результате подстановки этих чисел вместо соответствующих переменных x1, x2,..., xn каждое уравнение системы обратится в арифметическое тождество; другими словами, если существует вектор C= (c1, c2,..., cn)T такой, что AC = B.

Система (5.1) называется совместной, или разрешимой, если она имеет по крайней мере одно решение. Система называется несовместной, или неразрешимой, если она не имеет решений.

Матрица

матрица,

образованная путем приписывания справа к матрице A столбца свободных членов, называется расширенной матрицей системы.

Вопрос о совместности системы (5.1) решается следующей теоремой.

Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранги матриц A и расширенная матрица системы совпадают, т.е.
r(A) = r(расширенная матрица) = r.

Для множества М решений системы (5.1) имеются три возможности:

1) M = ∅ (в этом случае система несовместна);

2) M состоит из одного элемента, т.е. система имеет единственное решение (в этом случае система называется определенной);

3) M состоит более чем из одного элемента (тогда система называется неопределенной). В третьем случае система (5.1) имеет бесчисленное множество решений.

Система имеет единственное решение только в том случае, когда
r(A) = n. При этом число уравнений - не меньше числа неизвестных (m ≥ n); если m>n, то m-n уравнений являются следствиями остальных. Если 0<r<n, то система является неопределенной.

Для решения произвольной системы линейных уравнений нужно уметь решать системы, в которых число уравнений равно числу неизвестных, - так называемые системы крамеровского типа:

a11 x1 + a12 x2 +... + a1n xn = b1,

a21 x1 + a22 x2 +... + a2n xn = b2,                                        (5.3)

...     ...     ...     ...     ...     ...

an1 x1 + an1 x2 +... + ann xn = bn.

Системы (5.3) решаются одним из следующих способов:

  1. методом Гаусса, или методом исключения неизвестных;
  2. по формулам Крамера;
  3. матричным методом.

Пример 2.12. Исследовать систему уравнений и решить ее, если она совместна:

5x1 -   x2 + 2x3 +  x4  = 7,

2x1 +  x2 + 4x3 -  2x4 = 1,

x1 - 3x2 -  6x3 + 5x4 = 0.

Решение. Выписываем расширенную матрицу системы:

расширенная матрица системы.

Вычислим ранг основной матрицы системы. Очевидно, что, например, минор второго порядка в левом верхнем углу минор = 7 ≠ 0; содержащие его миноры третьего порядка равны нулю:

минор равен 0  минор равен 0

Следовательно, ранг основной матрицы системы равен 2, т.е. r(A) = 2. Для вычисления ранга расширенной матрицы расширенная матрица рассмотрим окаймляющий минор

окаймляющий минор

значит, ранг расширенной матрицы r(матрица) = 3. Поскольку r(A)≠ r(расширенная матрица), то система несовместна.

Автор: Степанов Владимир
Об авторе