ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Главная >> Лекции по высшей математике >> Математический анализ >> Методы интегрирования

Основные методы интегрирования

Определение интеграла, определенный и неопределенный интеграл, таблица интегралов, формула Ньютона-Лейбница, интегрирование по частям, примеры вычисления интегралов, вычисление интегралов on-line.

Неопределенный интеграл

Функция F(x), дифференцируемая в данном промежутке X, называется первообразной для функции f(x), или интегралом от f(x), если для всякого x ∈X справедливо равенство:

F' (x) = f(x).                                              (8.1)

Нахождение всех первообразных для данной функции называется ее интегрированием. Неопределенным интегралом функции f(x) на данном промежутке Х называется множество всех первообразных функций для функции f(x); обозначение -

∫ f(x) dx.

Если F(x) - какая-нибудь первобразная для функции f(x), то

∫ f(x)dx = F(x) + C,                                         (8.2)

где С - произвольная постоянная.

Таблица интегралов

Непосредственно из определения получаем основные свойства неопределенного интеграла и список табличных интегралов:

1) d ∫ f(x)=f(x)dx,

2) ∫df(x)=f(x)+C,

3) ∫af(x)dx=a ∫f(x)dx (a=const),

4) ∫(f(x)+g(x))dx= ∫f(x)dx+ ∫g(x)dx.

Список табличных интегралов

1. xm dx = xm+1/(m + 1) +C; (m ¹≠ -1).

2.= ln x +C.

3. ax dx = ax/ln a + C (a>0, a¹ ≠1).

4. ∫ex dx = ex + C.

5. ∫sin x dx = cos x + C.

6. ∫cos x dx = - sin x + C.

7. = arctg x + C.

8. = arcsin x + C.

9. = tg x + C.

10. = - ctg x + C.

 

Замена переменной

Для интегрирования многих функций применяют метод замены переменной, или подстановки, позволяющий приводить интегралы к табличной форме.

Если функция f(z) непрерывна на [a, b], функция z =g (x) имеет на [a,b] непрерывную производную и α ≤ g(x) ≤ β, то

∫ f(g(x)) g' (x) dx = ∫f(z) dz,                                   (8.3)

причем после интегрирования в правой части следует сделать подстановку z=g(x).

Для доказательства достаточно записать исходный интеграл в виде:

∫ f(g(x)) g (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).

Например:

1) ;

2).

 

Метод интегрирования по частям

Пусть u = f(x) и v = g(x) - функции, имеющие непрерывные производные. Тогда, по правилу дифференцирования произведения,

d(uv)= udv + vdu или udv = d(uv) -vdu.

Для выражения d(uv) первообразной, очевидно, будет uv, поэтому имеет место формула:

∫ udv = uv - ∫ vdu.                                                       (8.4)

Эта формула выражает правило интегрирования по частям. Оно приводит интегрирование выражения udv=uv'dx к интегрированию выражения vdu=vu'dx.

Пусть, например, требуется найти x cosx dx. Положим u = x, dv = cos x dx, так что du=dx, v=sinx. Тогда

∫ x cos x dx = ∫ x d(sin x) = x sin x - ∫ sin x dx = x sin x + cos x + C.

Правило интегрирования по частям имеет более ограниченную область применения, чем замена переменной. Но есть целые классы интегралов, например,

∫ xk lnmx dx, ∫xk sin bx dx, ∫ xk cos bx dx, ∫xk e ax dx

и другие, которые вычисляются именно с помощью интегрирования по частям.

Определенный интеграл

Понятие определенного интеграла вводится следующим образом. Пусть на отрезке [a, b] определена функция f(x). Разобьем отрезок [a, b] на n частей точками a = x0 < x1 <...<xn = b. Из каждого интервала (xi-1, xi) возьмем произвольную точку xi и составим сумму f(xi)Δ xi, где
Δxi = xi - xi-1. Сумма вида f(xi)Δ xi называется интегральной суммой, а ее предел при λ = max Δxi 0, если он существует и конечен, называется определенным интегралом функции f(x) от a до b и обозначается:

 f(xi)Δ xi.                                          (8.5)

Функция f(x) в этом случае называется интегрируемой на отрезке
[a, b], числа a и b носят название нижнего и верхнего предела интеграла.

Для определенного интеграла справедливы следующие свойства:

1) ;

2) ;

3) - ;

4) , (k = const, k∈R);

5) ;

6) ;

7) f(ξ)(b-a) (ξa,b]).

Последнее свойство называется теоремой о среднем значении.

Пусть f(x) непрерывна на [a, b]. Тогда на этом отрезке существует неопределенный интеграл

∫f(x) dx = F(x) + C

и имеет место формула Ньютона-Лейбница, cвязывающая определенный интеграл с неопределенным:

 F(b) - F(a).                                                (8.6)

Геометрическая интерпретация: определенный интеграл  представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой y= f(x), прямыми x = a и x = b и отрезком оси Ox.

Несобственные интегралы

Интегралы с бесконечными пределами и интегралы от разрывных (неограниченных) функций называются несобственными. Несобственные интегралы I рода - это интегралы на бесконечном промежутке, определяемые следующим образом:

.                                          (8.7)

Если этот предел существует и конечен, то  называется сходящимся несобственным интегралом от f(x) на интервале [а,+ ∞), а функцию f(x) называют интегрируемой на бесконечном промежутке [а,+ ∞). В противном случае про интеграл  говорят, что он не существует, или расходится.

Аналогично определяются несобственные интегралы на интервалах
(-
∞, b] и (- ∞, + ∞):

.

Определим понятие интеграла от неограниченной функции. Если f(x) непрерывна для всех значений x отрезка [a,b], кроме точки с, в которой f(x) имеет бесконечный разрыв, то несобственным интегралом II рода от f(x) в пределах от a до b называется сумма:

,

если эти пределы существуют и конечны. Обозначение:

 = .                               (8.8)

 

Примеры вычисления интегралов

Пример 3.30. Вычислить dx/(x+2).

Решение. Обозначим t = x+2, тогда dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = lnïtï+C =
= ln(
ïx+2)ï+C.

Пример 3.31. Найти ∫ tg x dx.

Решение. ∫ tg x dx = ∫ sin x/cos x dx = - ∫d(cos x)/ cos x. Пусть t=cos x, тогда ∫ tg x dx = - ∫ dt/t = - lnït ï+ C = - lnïcos xï+C.

Пример 3.32. Найти ∫ dx/sin x.

Решение.

Пример 3.33. Найти .

Решение.  =  

Пример 3.34. Найти ∫ arctg x dx.

Решение. Обозначим u=arctg x, dv=dx. Тогда du = dx/(x2+1), v=x, откуда ∫ arctg x dx = x arctg x - ∫ x dx/(x2+1) = x arctg x + 1/2 ln(x2+1) +C; так как
∫x dx/(x2+1) = 1/2 d(x2+1)/(x2+1) = 1/2 ln(x2+1) +C.

Пример 3.35. Вычислить ∫ ln x dx.

Решение. Применяя формулу интегрирования по частям, получим:
u=ln x, dv=dx, du= 1/x dx, v=x. Тогда
∫ ln x dx = x lnx - ∫ x 1/x dx =
= x lnx -
∫dx = x lnx - x + C.

Пример 3.36. Вычислить ∫ ex sin x dx.

Решение. Обозначим u = ex, dv = sin x dx, тогда du = ex dx, v = ∫ sin x dx= - cos x ∫ ex sin x dx = - ex cos x + ∫ ex cos x dx. Интеграл ∫ ex cos x dx также интегрируем по частям: u = ex, dv = cos x dx Þ du=exdx, v=sin x. Имеем:
∫ ex cos x dx = ex sin x - ∫ ex sin x dx. Получили соотношение ∫ ex sin x dx = - ex cos x + ex sin x - ∫ ex sin x dx, откуда 2 ∫ ex sin x dx = - ex cos x + ex sin x + С.

Пример 3.37. Вычислить J = ∫ cos(ln x)dx/x.

Решение. Так как dx/x = d(ln x), то J= ∫ cos(ln x)d(ln x). Заменяя ln x через t, приходим к табличному интегралу J = ∫ cos t dt = sin t + C = sin(ln x) + C.

Пример 3.38. Вычислить J = .

Решение. Учитывая, что  = d(ln x), производим подстановку ln x = t. Тогда J = .

Пример 3.39. Вычислить интеграл J = .

Решение. Имеем: . Поэтому =
=
=.

Пример 3.40. Можно ли применить формулу Ньютона-Лейбница к интегралу ?

Решение. Нет, нельзя. Если формально вычислять этот интеграл по формуле Ньютона-Лейбница, то получим неверный результат. Действительно, = .

Но подынтегральная функция f(x) =  > 0 и, следовательно, интеграл не может равняться отрицательному числу. Суть дела заключается в том, что подынтегральная функция f(x) =  имеет бесконечный разрыв в точке x = 4, принадлежащей промежутку интегрирования. Следовательно, здесь формула Ньютона-Лейбница неприменима.

Пример 3.41. Вычислить интеграл .

Решение. Подынтегральная функция определена и непрерывна при всех значениях х и, следовательно, имеет первообразную F(x)= .

По определению имеем: = .

По формуле Ньютона-Лейбница,

= F(b) - F(0) =  += ;

= = .

О авторе

Вычисление интегралов on-line

Правила ввода функций: sqrt(x)- квадратный корень, cbrt(x) - кубический корень, exp(x) - экспонента, ln(x) - натуральный логарифм, sin(x) - синус, cos(x) - косинус, tan(x) - тангенс, cot(x) - котангенс, arcsin(x) - арксинус, arccos(x) - арккосинус, arctan(x) - арктангенс. Знаки: * умножения, / деления, ^ возведение в степень, вместо бесконечности Infty. Пример: функция вводится так sqrt(tan(x/2)).

А если в окне результата нажмете на Show steps в правом верхнем углу, то получите подробное решение.

Для вычисления неопределенного интеграла введите функцию и нажмите кнопку Calcola!

 

 

Для вычисления определенного интеграла введите функцию, пределы интегрирования и нажмите кнопку Submit

 

 

Комментарии для сайта Cackle

Автор: Степанов Владимир
О авторе

МЕНЮ

Высшая математика Решение контрольных
Оплата контрольных
Вопросы по Skype
Редактор формул
Лекции
Видео-лекции
Учебники on-line
Скачать учебники
Решатели задач
О математике
Карта сайта

 

Каталог-Молдова - Ranker, Statistics

Copyright © 2004-2015