ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Главная >> Лекции >> Аналитическая геометрия >> Гипербола

Гипербола и ее свойства

Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

 

 

По определению | r 1r 2 | = 2 a . F 1 , F 2 – фокусы гиперболы. F 1 F 2 = 2 c .

Выберем на гиперболе произвольную точку М(х, у). Тогда :

обозначим с2 – а2 = b2 (геометрически эта величина – меньшая полуось)

Получили каноническое уравнение гиперболы.Гипербола симметрична относительно середины отрезка, соединяющего фокусы и относительно осей координат.

Ось 2а называется действительной осью.

Ось 2 b называется мнимой осью.

Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых

Определение. Отношение называется эксцентриситетом гиперболы, где с – половина расстояния между фокусами, а – действительная полуось.

С учетом того, что с2 – а 2 = b2

:

Если а = b , e = middle, то гипербола называется равнобочной (равносторонней).

Определение. Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии a/e от него, называются директрисами гиперболы. Их уравнения:

Теорема. Если r – расстояние от произвольной точки М гиперболы до какого- либо фокуса, d – расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение r / d – величина постоянная, равная эксцентриситету.

 Доказательство. Изобразим схематично гиперболу.

 

Из очевидных геометрических соотношений можно записать:

a / e + d = x , следовательно d = x – a / e .

( x – c ) 2 + y2 = r 2

Из канонического уравнения: , с учетом b2 = c2 – a2:

Тогда т.к. с/ a = e , то r = ex – a .

Итого:

Для левой ветви доказательство аналогично. Теорема доказана

Пример 1 . Найти уравнение гиперболы, вершины и фокусы которой находятся в соответствующих вершинах и фокусах эллипса

Для эллипса: c 2 = a2 – b2 .
Для гиперболы: c2 = a2 + b2 .

Уравнение гиперболы:

Пример 2 . Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2, а фокусы совпадают с фокусами эллипса с уравнением

Находим фокусное расстояние c 2 = 25 – 9 = 16.

Для гиперболы: c2 = a2 + b2 = 16, e = c / a = 2; c = 2 a ; c 2 = 4 a2 ; a2 = 4;

b2 = 16 – 4 = 12.

Итого: - искомое уравнение.

МЕНЮ

Высшая математика Решение контрольных
Оплата контрольных
Вопросы по Skype
Редактор формул
Лекции
Видео-лекции
Учебники on-line
Скачать учебники
Решатели задач
О математике
Карта сайта

Каталог-Молдова - Ranker, Statistics

Copyright © 2004-2015