ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Главная >> Лекции >> Линейная алгебра >>Метод исключения неизвестных

Метод Гаусса

Решение систем методом Гаусса on-line

Введите уравнения своей системы и нажмите submit получите ответы, нажмите на Step-by-step solution получите полное решение.

Определение метода Гаусса

Метод Гаусса применен к решению систем с одним решением, с бесконечным количеством решений и не имеющим решений.

Определение. Метод исключения неизвестных Гаусса представляет собой метод решения линейной системы $ {\Mathbf x}= {\mathbf C}$ (состоящий из метод Гаусса уравнения и $ n$ неизвестных) путем преобразования расширенной матрицы

$\displaystyle [ \ ;\; {\mathbf C}] = \left[\begin{array}{КПКГ\vert c}<br /><br /><br /> a_{11} & ...<br /><br /><br /> ... \vdots & \vdots \\<br /><br /><br /> a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} и b_m \end{array}\right]$
к треугольной форме,
$\displaystyle \left[\begin{array}{КПКГ\vert c}<br /><br /><br /> c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1n...<br /><br /><br /> ... \ddots & \vdots & \vdots \\<br /><br /><br /> 0 & 0 & \cdots & c_{mn} и d_m \end{array}\right].$
Этот метод также называется метод исключения неизвестных.

Следующие примеры иллюстрируют метод Гаусса.

Метод Гаусса применен для решения системы с единственным решением

Пример 1. Использовать метод Гаусса для решения линейной системы.
 
$\displaystyle y + z$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2$
$\displaystyle 2 x + 3 z$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 5$
$\displaystyle x+ y + z$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 3$
 
Решение: Расширенная матрица имеет вид $ \begin{bmatrix}0 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 3 & 5 \\ 1 & 1<br /><br /><br /> & 1 & 3 \end{bmatrix}.$ Метод состоит из следующих шагов:
  1. Поменяем местами первое и второе уравнение, чтобы коэффициент у х в первом уравнении не был равен нулю
    $\displaystyle \begin{array}{cr} 2 x + 3? & = 5 \\ y + z &= 2<br /><br /><br /> \\ x + y + z и= 3 ...<br /><br /><br /> ...}<br /><br /><br /> \begin{bmatrix}2 & 0 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1<br /><br /><br /> & 1 & 3 \end{bmatrix}.$
  2. Разделим первое уравнение на 2, чтобы коэффициент у х стал равен 1
    $\displaystyle \begin{array}{cr} (x) + \frac{3}{2} z &= \frac{5}{2} \\<br /><br /><br /> y + z &= 2...<br /><br /><br /> ...0 & \frac{3}{2} & \frac{5}{2} \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 3<br /><br /><br /> \end{bmatrix}. $
  3. Первое уравнение умножаем на -1 и складываем с третьим уравнением
    \begin{displaymath}\begin{array}{cr} (x) + \frac{3}{2} z &= \frac{5}{2} \\ y + z &...<br /><br /><br /> ...1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2}<br /><br /><br /> \end{bmatrix}. \end{displaymath}
  4. Второе уравнение умножаем на -1 и складываем с третьим .
    $\displaystyle \begin{array}{cr} (x) + \frac{3}{2} z &= \frac{5}{2} \\ y + z &= 2 ...<br /><br /><br /> ...переменного тока{5}{2} \\ 0<br /><br /><br /> & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{2}<br /><br /><br /> \end{bmatrix}.$
  5. Умножим третье уравнение на -2/3
    $\displaystyle \begin{array}{cr} (x) + \frac{3}{2} z &= \frac{5}{2} \\ y + z &= 2 ...<br /><br /><br /> ... 0 & \frac{3}{2} &<br /><br /><br /> \frac{5}{2} \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}.$

Последнее уравнение дает $ z=1,$ второе уравнение дает теперь $ y=1.$

Наконец, первое уравнение дает $ x = 1.$

Следовательно, решение исходной системы х = 1, у = 1, z = 1.

Решение системы с бесконечным множеством решений

Пример 2 Решить систему линейных уравнений .
$\displaystyle x+ y + z$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 3$
$\displaystyle x + 2 y + 2 z$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 5$
$\displaystyle 3 x + 4 y + 4 z$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 11$
 
Решение: Расширенная матрица имеет вид $ \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 2 & 5 \\ 3 & 4<br /><br /><br /> и 4 и 11 \end{bmatrix}$ и метод исключения неизвестных осуществляется следующим образом:
  1. Первое уравнение умножим на -1 и сложим со вторым
    $\displaystyle \begin{array}{cr} x + y + z и= 3 \\<br /><br /><br /> y + z &= 2 \\ 3 x +4 y +4 z ...<br /><br /><br /> ...begin{bmatrix}<br /><br /><br /> 1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 4 & 11<br /><br /><br /> \end{bmatrix}. $
  2. Умножим первое уравнение на -3 и сложим с третьим
    $\displaystyle \begin{array}{cr} x + y + z и= 3 \\<br /><br /><br /> y + z &= 2 \\ y + z &= 2 \en...<br /><br /><br /> ...\begin{bmatrix}<br /><br /><br /> 1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 2<br /><br /><br /> \end{bmatrix}. $
  3. Умножим второе уравнение на -1 и сложим с третьим
    $\displaystyle \begin{array}{cr} x + y+ z и= 3 \\ y + z &= 2<br /><br /><br /> \end{array} \hspace...<br /><br /><br /> ...<br /><br /><br /> \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 3 \\ 0<br /><br /><br /> & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0<br /><br /><br /> \end{bmatrix}. $
Таким образом, y = 2 - z, x = 1, где z любое число. Т.е. система имеет бесконечное число решений.

Решение системы не имеющей решений

Пример 3
Решить линейную систему.
$\displaystyle x+ y + z$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 3$
$\displaystyle x + 2 y + 2 z$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 5$
$\displaystyle 3 x + 4 y + 4 z$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 12$
 
Решение: В этом случае, расширенная матрица имеет вид $ \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 2 & 5 \\ 3 & 4<br /><br /><br /> и 4 и 12 \end{bmatrix}$ и метод исключения неизвестных осуществляется следующим образом:
  1. Умножим первое уравнение на -1 и сложим со вторым .
    $\displaystyle \begin{array}{cr} x + y + z и= 3 \\<br /><br /><br /> y + z &= 2 \\ 3 x +4 y +4 z ...<br /><br /><br /> ...begin{bmatrix}<br /><br /><br /> 1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 4 & 12<br /><br /><br /> \end{bmatrix}. $
  2. Умножим первое уравнение на -3 и сложим с третьим уравнением .
    $\displaystyle \begin{array}{cr} x + y + z и= 3 \\<br /><br /><br /> y + z &= 2 \\ y + z и= 3 \en...<br /><br /><br /> ...\begin{bmatrix}<br /><br /><br /> 1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 3<br /><br /><br /> \end{bmatrix}. $
  3. Второе уравнение умножим на -1 и сложим с третьим
    $\displaystyle \begin{array}{cr} x + y+ z и= 3 \\ y + z &= 2 \\ 0 и = 1<br /><br /><br /> \end{ОБР...<br /><br /><br /> ...<br /><br /><br /> \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 3 \\ 0<br /><br /><br /> & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1<br /><br /><br /> \end{bmatrix}. $
Третьего уравнения системы имеет вид-
$\displaystyle 0 x + y y 0 + 0, z = 1.$
Это равенство не выполняется ни при каких значениях неизвестных $ x, y, z.$ Таким образом, система не имеет решений.

Примечание   Обратите внимание, что для решения линейной системы уравнений методом Гаусса $ {\Mathbf x}= {\mathbf V},$ нужно применять только элементарные преобразования расширенной матрицы $ [ \ ;\; {\Mathbf C}].$

Автор: Степанов Владимир
О авторе

МЕНЮ

Высшая математика Решение контрольных
Оплата контрольных
Вопросы по Skype
Редактор формул
Лекции
Видео-лекции
Учебники on-line
Скачать учебники
Решатели задач
О математике
Карта сайта

Каталог-Молдова - Ranker, Statistics

Copyright © 2004-2015