ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Главная >> Лекции >> Математический анализ >> Диффуры

Дифференциальные уравнения

Определение и примеры

Дифференциальные уравнения определение, примеры решений, решение дифференциальных уравнений on-line.

Вспомним задачу, которая стояла перед нами при нахождении определенных интегралов:

или dy = f(x)dx. Ее решение:

и сводится она к вычислению неопределенного интеграла. На практике чаще встречается более сложная задача: найти функцию y , если известно, что она удовлетворяет соотношению вида

                        (9.1)

Это соотношение связывает независимую переменную x, неизвестную функцию y и ее производные до порядка n включительно, называются дифференциальные уравнения.

В дифференциальное уравнение входит функция под знаком производных (или дифференциалов) того или иного порядка. Порядок наивысшей производной называется порядком (9.1).

Дифференциальные уравнения:

         - первого порядка,

         - второго порядка,

         - пятого порядка и т. д.

Функция, которая удовлетворяет данному дифференциальному уравнению, называется его решением, или интегралом. Решить его - значит найти все его решения. Если для искомой функции y удалось получить формулу, которая дает все решения, то мы говорим, что нашли его общее решение, или общий интеграл.

Общее решение содержит n произвольных постоянных и имеет вид

        

Если получено соотношение, которое связывает x, y и n произвольных постоянных, в виде, не разрешенном относительно y -

        ,

то такое соотношение называется общим интегралом уравнения (9.1).

Задача Коши

Каждое конкретное решение, т. е. каждая конкретная функция, которая удовлетворяет данному дифференциальному уравнению и не зависит от произвольных постоянных, называется частным решением, или частным интегралом . Чтобы получить частные решения (интегралы) из общих, надо постоянным придают конкретные числовые значения.

График частного решения называется интегральной кривой . Общее решение, которое содержит все частные решения, представляет собой семейство интегральных кривых. Для уравнения первого порядка это семейство зависит от одной произвольной постоянной, для уравнения n -го порядка - от n произвольных постоянных.

Задача Коши заключается в нахождении частного решение для уравнения n -го порядка, удовлетворяющее n начальным условиям:

по которым определяются n постоянных с 1 , с 2 ,..., c n.

Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Для неразрешенного относительно производной дифференциальное уравнения 1-го порядка имеет вид

или для разрешенного относительно

Пример 3.46 . Найти общее решение уравнения

Решение. Интегрируя, получим

где С - произвольная постоянная. Если придадим С конкретные числовые значения, то получим частные решения, например,

 

и т.д.

Пример 3.47 . Рассмотрим возрастающую денежную сумму, положенную в банк при условии начисления 100 r сложных процентов в год. Пусть Yo начальная денежная сумма, а Yx - по истечении x лет. При начислении процентов один раз в год,получим

где x = 0, 1, 2, 3,.... При начислении процентов два раза в год , получим

где x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... При начислении процентов n раз в год и если x принимает последовательно значения 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., тогда

то есть

Обозначить 1/n = h , тогда предыдущее равенство будет иметь вид:

При н еограниченном увеличении n (при ) в пределе приходем к процессу возрастания денежной суммы при непрерывном начислении процентов:

таким образом видно, что при непрерывном изменении x закон изменения денежной массы выражается дифференциальным уравнением 1- го порядка. Где Y x - неизвестная функция, x - независимая переменная, r - постоянная. Решим данное уравнение, для этого перепишем его следующим образом:

откуда , или , где через P обозначено e C .

Из начальных условий Y(0) = Yo , найдем P: Yo = Pe o , откуда, Yo = P. Следовательно, решение имеет вид:

Yx =Yo er x .

Рассмотрим вторую экономическую задачу. Макроэкономические модели тоже описываются линейным дифференциальным уравнениям 1-го порядка, описывающим изменение дохода или выпуска продукции Y как функций времени.

Пример 3.48 . Пусть национальный доход Y возрастает со скоростью, пропорциональной его величине:

и пусть, дефицит в расходах правительства прямо пропорционален доходу Y с коэффициентом пропорциональности q. Дефицит в расходах приводит к возрастанию национального долга D:

dD/dt = qY.

Начальные условия Y = Yo и D = Do при t = 0. Из первого уравнения Y= Yoekt . Подставляя Y получаем dD/dt = qYoekt. Общее решение имеет вид
D = (q/ k) Yoekt +С, где С = const, которая определяется из начальных условий. Подставляя начальные условия, получаем Do = (q/ k)Yo + С. Итак, окончательно,

D = Do +(q/ k)Yo (ekt -1),

отсюда видно, что национальный долг возрастает с той же относительной скоростью k , что и национальный доход.

Рассмотрим ростейшие дифференциальные уравнения n -го порядка, это уравнения вида

y (n) = f(x).

Его общее решение получитм с помощью n раз интегрирований.

Пример 3.49. Рассмотрим пример y''' = cos x.

Решение. Интегрируя, находим

Общее решение имеет вид

.

Линейные дифференциальные уравнения

В экономике большое применение имеют линейные дифференциальные уравнения, рассмотрим решение таких уравнений. Если (9.1) имеет вид:

,                         (9.2)

то оно называется линейным, где рo(x), р1(x),..., рn(x), f(x) - заданные функции. Если f(x) = 0, то (9.2) называется однородными , в противном случае - неоднородным . Общее решение уравнения (9.2) равно сумме какого-либо его частного решения y(x) и общего решения однородного уравнения соответствующего ему:

                        (9.3)

Если коэффициенты рo (x), р1 (x),..., рn (x) постоянные, то (9.2)

                         (9.4)

(9.4) называется линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами порядка n .

Однородное дифференциальное уравнение для (9.4) имеет вид:

                        (9.5)

Можно положить без ограничения общности рo = 1 и записать (9.5) в виде

.                         (9.6)

Будем искать решение (9.6) в виде y = ekx , где k - константа. Имеем: ; y' = kekx, y'' = k 2ekx, ..., y (n) = knekx . Подставим полученные выражения в (9.6), будем иметь:

Т . к . , то

                        (9.7)

(9.7) есть алгебраическое уравнение, его неизвестным является k, оно называется характеристическим. Характеристическое уравнение имеет степень n и n корней, среди которых могут быть как кратные, так и комплексные. Пусть k 1 , k2 ,..., kn - действительные и различные , тогда - частные решения (9.7), а общее

y = .

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

                        (9.8)

Его характеристическое уравнение имеет вид

                        (9.9)

его дискриминант D = р 2 - 4q в зависимости от знака D возможны три случая.

1. Если D>0, то корни k1 и k2 (9.9) действительны и различны, и общее решение имеет вид:

2. Если D = 0, т.е. корни k1 и k2 действительные и равные, и общее решение имеет вид:

3. Если D<0, то корни комплексные сопряженные k1 = a + b i, k2 = a - b i, где i - мнимая единица. Общее решение:

Пример 3.50. Найти решение

Решение. Его характеристическое уравнение имеет вид k2 - 1 = 0, корни которого k1 = 1, k2 = -1 действительны и различны. Общее решение имеет вид:

.

Пример 3.51 . Решить уравнение

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид:
k2 - 4k +4 = 0 или (k - 2)2 = 0, его корни равные k 1 = k2 = 2, поэтомут, общее решение находится по формуле:

Пример 3.52 . Решить

Решение. Характеристическое уравнение: k2 + 9 = 0, откуда k = ± 3i, a = 0, b = 3, общее решение имеет вид:

y = C1cos 3x + C 2sin 3x.

Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка применяются при изучении экономической модели паутинообразного типа с запасами товаров, где скорость изменения цены P зависит от величины запаса (см. параграф 10). В случае если спрос и предложение являются линейными функциями цены, то есть

а - есть постоянная, определяющая скорость реакции, то процесс изменения цены описывается дифференциальным уравнением:

За частное решения можно взять постоянную

имеющую смысл цены равновесия. Отклонение удовлетворяет однородному уравнению

                        (9.10)

Характеристическое уравнение будет следующее:

В случае член положителен. Обозначим . Корни характеристического уравнения k1,2 = ± i w, поэтому общее решение (9.10) имеет вид:

где C и произвольные постоянные, они определяются из начальных условий. Получили закон изменения цены во времени:

 

 

Введите свое дифференциальное уравнение, для ввода производной используется апостроa "'", нажмите submit получите решение

МЕНЮ

Высшая математика Решение контрольных
Оплата контрольных
Вопросы по Skype
Редактор формул
Лекции
Видео-лекции
Учебники on-line
Скачать учебники
Решатели задач
О математике
Карта сайта

Copyright © 2004-2015